Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3638 / 5575
↖ ↑ ↗
← S 54.342149°
W 20.126953°		 ← 2 848.55 m → S 54.342149°
W 20.083008°		 →
↑
2 847.65 m
↓
↑
2 847.65 m
↓
S 54.367758°
W 20.126953°		 ← 2 846.78 m →
8 109 135 m²		 S 54.367758°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44415283203125 y=0.68060302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44415283203125 × 213)
    floor (0.44415283203125 × 8192)
    floor (3638.5)     		tx = 3638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68060302734375 × 213)
    floor (0.68060302734375 × 8192)
    floor (5575.5)     		ty = 5575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3638 / 5575 ti = "13/3638/5575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3638/5575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3638 ÷ 213
    3638 ÷ 8192     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5575 ÷ 213
    5575 ÷ 8192     		y = 0.6805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6805419921875 × 2 - 1) × π
    -0.361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13437879260901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13437879260901))-π/2
    2×atan(0.321621853162813)-π/2
    2×0.311173453259832-π/2
    0.622346906519664-1.57079632675     		φ = -0.94844942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94844942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.342149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3638 KachelY 5575 -0.35128160 -0.94844942 -20.126953 -54.342149
    Oben rechts KachelX + 1 3639 KachelY 5575 -0.35051461 -0.94844942 -20.083008 -54.342149
    Unten links KachelX 3638 KachelY + 1 5576 -0.35128160 -0.94889639 -20.126953 -54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 3639 KachelY + 1 5576 -0.35051461 -0.94889639 -20.083008 -54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94844942--0.94889639) × R
    0.000446970000000046 × 6371000     		dl = 2847.6458700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94844942--0.94889639) × R
    0.000446970000000046 × 6371000     		dr = 2847.6458700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.94844942) × R
    0.000766990000000023 × 0.582943655502188 × 6371000     		do = 2848.5502610596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.94889639) × R
    0.000766990000000023 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 2846.77535492175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94844942)-sin(-0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582943655502188-0.582580428535012)×R²
    abs(-0.35051461--0.35128160)×0.000363226967175945×R²
    0.000766990000000023×0.000363226967175945×6371000²
    0.000766990000000023×0.000363226967175945×40589641000000     		ar = 8109135.36933157m²