Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3638 / 5535
↖ ↑ ↗
← S 53.304621°
W 20.126953°		 ← 2 919.98 m → S 53.304621°
W 20.083008°		 →
↑
2 919.13 m
↓
↑
2 919.13 m
↓
S 53.330873°
W 20.126953°		 ← 2 918.18 m →
8 521 162 m²		 S 53.330873°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44415283203125 y=0.67572021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44415283203125 × 213)
    floor (0.44415283203125 × 8192)
    floor (3638.5)     		tx = 3638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67572021484375 × 213)
    floor (0.67572021484375 × 8192)
    floor (5535.5)     		ty = 5535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3638 / 5535 ti = "13/3638/5535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3638/5535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3638 ÷ 213
    3638 ÷ 8192     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5535 ÷ 213
    5535 ÷ 8192     		y = 0.6756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10369917685217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10369917685217))-π/2
    2×atan(0.331642009373696)-π/2
    2×0.320227591262623-π/2
    0.640455182525245-1.57079632675     		φ = -0.93034114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93034114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.304621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3638 KachelY 5535 -0.35128160 -0.93034114 -20.126953 -53.304621
    Oben rechts KachelX + 1 3639 KachelY 5535 -0.35051461 -0.93034114 -20.083008 -53.304621
    Unten links KachelX 3638 KachelY + 1 5536 -0.35128160 -0.93079933 -20.126953 -53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 3639 KachelY + 1 5536 -0.35051461 -0.93079933 -20.083008 -53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93034114--0.93079933) × R
    0.000458190000000025 × 6371000     		dl = 2919.12849000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93034114--0.93079933) × R
    0.000458190000000025 × 6371000     		dr = 2919.12849000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.93034114) × R
    0.000766990000000023 × 0.597560482879056 × 6371000     		do = 2919.97528995776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.93079933) × R
    0.000766990000000023 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 2918.17974615403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93034114)-sin(-0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597560482879056-0.597193032501625)×R²
    abs(-0.35051461--0.35128160)×0.000367450377431022×R²
    0.000766990000000023×0.000367450377431022×6371000²
    0.000766990000000023×0.000367450377431022×40589641000000     		ar = 8521162.49655239m²