Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36353 / 20995
↖ ↑ ↗
← N 54.152784°
E 19.692993°		 ← 357.69 m → N 54.152784°
E 19.698486°		 →
↑
357.67 m
↓
↑
357.67 m
↓
N 54.149567°
E 19.692993°		 ← 357.72 m →
127 940 m²		 N 54.149567°
E 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554710388183594 y=0.320365905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554710388183594 × 216)
    floor (0.554710388183594 × 65536)
    floor (36353.5)     		tx = 36353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320365905761719 × 216)
    floor (0.320365905761719 × 65536)
    floor (20995.5)     		ty = 20995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36353 / 20995 ti = "16/36353/20995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36353/20995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36353 ÷ 216
    36353 ÷ 65536     		x = 0.554702758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20995 ÷ 216
    20995 ÷ 65536     		y = 0.320358276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554702758789062 × 2 - 1) × π
    0.109405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34370757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320358276367188 × 2 - 1) × π
    0.359283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12872223845384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34370757} λ = 0.34370757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12872223845384))-π/2
    2×atan(3.09170351531256)-π/2
    2×1.25797035576081-π/2
    2.51594071152162-1.57079632675     		φ = 0.94514438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34370757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.692993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94514438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.152784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36353 KachelY 20995 0.34370757 0.94514438 19.692993 54.152784
    Oben rechts KachelX + 1 36354 KachelY 20995 0.34380344 0.94514438 19.698486 54.152784
    Unten links KachelX 36353 KachelY + 1 20996 0.34370757 0.94508824 19.692993 54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 36354 KachelY + 1 20996 0.34380344 0.94508824 19.698486 54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94514438-0.94508824) × R
    5.61399999999823e-05 × 6371000     		dl = 357.667939999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94514438-0.94508824) × R
    5.61399999999823e-05 × 6371000     		dr = 357.667939999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34370757-0.34380344) × cos(0.94514438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585625853366255 × 6371000     		do = 357.693109031914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34370757-0.34380344) × cos(0.94508824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 357.720903004051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94514438)-sin(0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585625853366255-0.585671358488496)×R²
    abs(0.34380344-0.34370757)×4.55051222412184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55051222412184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55051222412184e-05×40589641000000     		ar = 127940.327999842m²