Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3635 / 5545
↖ ↑ ↗
← S 53.566414°
W 20.258789°		 ← 2 902.04 m → S 53.566414°
W 20.214844°		 →
↑
2 901.10 m
↓
↑
2 901.10 m
↓
S 53.592505°
W 20.258789°		 ← 2 900.25 m →
8 416 514 m²		 S 53.592505°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44378662109375 y=0.67694091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44378662109375 × 213)
    floor (0.44378662109375 × 8192)
    floor (3635.5)     		tx = 3635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67694091796875 × 213)
    floor (0.67694091796875 × 8192)
    floor (5545.5)     		ty = 5545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3635 / 5545 ti = "13/3635/5545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3635/5545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3635 ÷ 213
    3635 ÷ 8192     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5545 ÷ 213
    5545 ÷ 8192     		y = 0.6768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11136908079138))-π/2
    2×atan(0.329108076950778)-π/2
    2×0.317943015680689-π/2
    0.635886031361378-1.57079632675     		φ = -0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3635 KachelY 5545 -0.35358257 -0.93491030 -20.258789 -53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 3636 KachelY 5545 -0.35281558 -0.93491030 -20.214844 -53.566414
    Unten links KachelX 3635 KachelY + 1 5546 -0.35358257 -0.93536566 -20.258789 -53.592505
    Unten rechts KachelX + 1 3636 KachelY + 1 5546 -0.35281558 -0.93536566 -20.214844 -53.592505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93491030--0.93536566) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dl = 2901.0985600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93491030--0.93536566) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dr = 2901.0985600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35281558) × cos(-0.93491030) × R
    0.000766989999999967 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 2902.04241490027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35281558) × cos(-0.93536566) × R
    0.000766989999999967 × 0.593524176982808 × 6371000     		du = 2900.25190827914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93491030)-sin(-0.93536566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.593524176982808)×R²
    abs(-0.35281558--0.35358257)×0.000366419539507445×R²
    0.000766989999999967×0.000366419539507445×6371000²
    0.000766989999999967×0.000366419539507445×40589641000000     		ar = 8416513.99826744m²