Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3632 / 5483
↖ ↑ ↗
← S 51.917167°
W 20.390625°		 ← 3 013.99 m → S 51.917167°
W 20.346680°		 →
↑
3 013.10 m
↓
↑
3 013.10 m
↓
S 51.944265°
W 20.390625°		 ← 3 012.17 m →
9 078 713 m²		 S 51.944265°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44342041015625 y=0.66937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44342041015625 × 213)
    floor (0.44342041015625 × 8192)
    floor (3632.5)     		tx = 3632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66937255859375 × 213)
    floor (0.66937255859375 × 8192)
    floor (5483.5)     		ty = 5483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3632 / 5483 ti = "13/3632/5483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3632/5483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3632 ÷ 213
    3632 ÷ 8192     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5483 ÷ 213
    5483 ÷ 8192     		y = 0.6693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06381567636829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06381567636829))-π/2
    2×atan(0.345136365969117)-π/2
    2×0.332335407037171-π/2
    0.664670814074341-1.57079632675     		φ = -0.90612551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90612551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.917167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3632 KachelY 5483 -0.35588354 -0.90612551 -20.390625 -51.917167
    Oben rechts KachelX + 1 3633 KachelY 5483 -0.35511655 -0.90612551 -20.346680 -51.917167
    Unten links KachelX 3632 KachelY + 1 5484 -0.35588354 -0.90659845 -20.390625 -51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 3633 KachelY + 1 5484 -0.35511655 -0.90659845 -20.346680 -51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90612551--0.90659845) × R
    0.000472939999999977 × 6371000     		dl = 3013.10073999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90612551--0.90659845) × R
    0.000472939999999977 × 6371000     		dr = 3013.10073999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(-0.90612551) × R
    0.000766990000000023 × 0.616800059510535 × 6371000     		do = 3013.98935206992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(-0.90659845) × R
    0.000766990000000023 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 3012.16996677427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90612551)-sin(-0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616800059510535-0.616427730073519)×R²
    abs(-0.35511655--0.35588354)×0.000372329437016039×R²
    0.000766990000000023×0.000372329437016039×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372329437016039×40589641000000     		ar = 9078712.72070239m²