Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3632 / 5482
↖ ↑ ↗
← S 51.890054°
W 20.390625°		 ← 3 015.81 m → S 51.890054°
W 20.346680°		 →
↑
3 014.88 m
↓
↑
3 014.88 m
↓
S 51.917167°
W 20.390625°		 ← 3 013.99 m →
9 089 574 m²		 S 51.917167°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44342041015625 y=0.66925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44342041015625 × 213)
    floor (0.44342041015625 × 8192)
    floor (3632.5)     		tx = 3632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66925048828125 × 213)
    floor (0.66925048828125 × 8192)
    floor (5482.5)     		ty = 5482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3632 / 5482 ti = "13/3632/5482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3632/5482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3632 ÷ 213
    3632 ÷ 8192     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5482 ÷ 213
    5482 ÷ 8192     		y = 0.669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.33837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06304868597437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06304868597437))-π/2
    2×atan(0.345401183789788)-π/2
    2×0.332572018303337-π/2
    0.665144036606673-1.57079632675     		φ = -0.90565229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90565229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.890054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3632 KachelY 5482 -0.35588354 -0.90565229 -20.390625 -51.890054
    Oben rechts KachelX + 1 3633 KachelY 5482 -0.35511655 -0.90565229 -20.346680 -51.890054
    Unten links KachelX 3632 KachelY + 1 5483 -0.35588354 -0.90612551 -20.390625 -51.917167
    Unten rechts KachelX + 1 3633 KachelY + 1 5483 -0.35511655 -0.90612551 -20.346680 -51.917167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90565229--0.90612551) × R
    0.000473219999999941 × 6371000     		dl = 3014.88461999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90565229--0.90612551) × R
    0.000473219999999941 × 6371000     		dr = 3014.88461999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(-0.90565229) × R
    0.000766990000000023 × 0.617172471298336 × 6371000     		do = 3015.80913977213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(-0.90612551) × R
    0.000766990000000023 × 0.616800059510535 × 6371000     		du = 3013.98935206992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90565229)-sin(-0.90612551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617172471298336-0.616800059510535)×R²
    abs(-0.35511655--0.35588354)×0.000372411787801008×R²
    0.000766990000000023×0.000372411787801008×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372411787801008×40589641000000     		ar = 9089573.53700167m²