Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3631 / 5672
↖ ↑ ↗
← S 56.752723°
W 20.434570°		 ← 2 679.04 m → S 56.752723°
W 20.390625°		 →
↑
2 678.18 m
↓
↑
2 678.18 m
↓
S 56.776808°
W 20.434570°		 ← 2 677.32 m →
7 172 635 m²		 S 56.776808°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44329833984375 y=0.69244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44329833984375 × 213)
    floor (0.44329833984375 × 8192)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69244384765625 × 213)
    floor (0.69244384765625 × 8192)
    floor (5672.5)     		ty = 5672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3631 / 5672 ti = "13/3631/5672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3631/5672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 213
    3631 ÷ 8192     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5672 ÷ 213
    5672 ÷ 8192     		y = 0.6923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6923828125 × 2 - 1) × π
    -0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20877686081934))-π/2
    2×atan(0.298562239358819)-π/2
    2×0.290137226612273-π/2
    0.580274453224545-1.57079632675     		φ = -0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 5672 -0.35665053 -0.99052187 -20.434570 -56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 5672 -0.35588354 -0.99052187 -20.390625 -56.752723
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 5673 -0.35665053 -0.99094224 -20.434570 -56.776808
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 5673 -0.35588354 -0.99094224 -20.390625 -56.776808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99052187--0.99094224) × R
    0.000420369999999948 × 6371000     		dl = 2678.17726999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99052187--0.99094224) × R
    0.000420369999999948 × 6371000     		dr = 2678.17726999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(-0.99052187) × R
    0.000766990000000023 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 2679.03699524976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(-0.99094224) × R
    0.000766990000000023 × 0.547901880012212 × 6371000     		du = 2677.31886025814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99052187)-sin(-0.99094224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.547901880012212)×R²
    abs(-0.35588354--0.35665053)×0.000351608994354824×R²
    0.000766990000000023×0.000351608994354824×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351608994354824×40589641000000     		ar = 7172635.35674638m²