Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3630 / 5673
↖ ↑ ↗
← S 56.776808°
W 20.478515°		 ← 2 677.32 m → S 56.776808°
W 20.434570°		 →
↑
2 676.46 m
↓
↑
2 676.46 m
↓
S 56.800878°
W 20.478515°		 ← 2 675.60 m →
7 163 431 m²		 S 56.800878°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44317626953125 y=0.69256591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44317626953125 × 213)
    floor (0.44317626953125 × 8192)
    floor (3630.5)     		tx = 3630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69256591796875 × 213)
    floor (0.69256591796875 × 8192)
    floor (5673.5)     		ty = 5673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3630 / 5673 ti = "13/3630/5673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3630/5673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3630 ÷ 213
    3630 ÷ 8192     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5673 ÷ 213
    5673 ÷ 8192     		y = 0.6925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20954385121326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20954385121326))-π/2
    2×atan(0.298333332785037)-π/2
    2×0.28992704145801-π/2
    0.579854082916021-1.57079632675     		φ = -0.99094224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99094224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.776808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3630 KachelY 5673 -0.35741752 -0.99094224 -20.478515 -56.776808
    Oben rechts KachelX + 1 3631 KachelY 5673 -0.35665053 -0.99094224 -20.434570 -56.776808
    Unten links KachelX 3630 KachelY + 1 5674 -0.35741752 -0.99136234 -20.478515 -56.800878
    Unten rechts KachelX + 1 3631 KachelY + 1 5674 -0.35665053 -0.99136234 -20.434570 -56.800878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99094224--0.99136234) × R
    0.000420100000000034 × 6371000     		dl = 2676.45710000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99094224--0.99136234) × R
    0.000420100000000034 × 6371000     		dr = 2676.45710000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35665053) × cos(-0.99094224) × R
    0.000766989999999967 × 0.547901880012212 × 6371000     		do = 2677.31886025794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35665053) × cos(-0.99136234) × R
    0.000766989999999967 × 0.547550400126254 × 6371000     		du = 2675.60135615364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99094224)-sin(-0.99136234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547901880012212-0.547550400126254)×R²
    abs(-0.35665053--0.35741752)×0.000351479885957851×R²
    0.000766989999999967×0.000351479885957851×6371000²
    0.000766989999999967×0.000351479885957851×40589641000000     		ar = 7163430.76482917m²