Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3628 / 5587
↖ ↑ ↗
← S 54.648413°
W 20.566406°		 ← 2 827.29 m → S 54.648413°
W 20.522461°		 →
↑
2 826.37 m
↓
↑
2 826.37 m
↓
S 54.673831°
W 20.566406°		 ← 2 825.52 m →
7 988 451 m²		 S 54.673831°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44293212890625 y=0.68206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44293212890625 × 213)
    floor (0.44293212890625 × 8192)
    floor (3628.5)     		tx = 3628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68206787109375 × 213)
    floor (0.68206787109375 × 8192)
    floor (5587.5)     		ty = 5587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3628 / 5587 ti = "13/3628/5587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3628/5587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3628 ÷ 213
    3628 ÷ 8192     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5587 ÷ 213
    5587 ÷ 8192     		y = 0.6820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14358267733606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14358267733606))-π/2
    2×atan(0.318675263537034)-π/2
    2×0.308500798830175-π/2
    0.617001597660349-1.57079632675     		φ = -0.95379473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95379473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.648413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3628 KachelY 5587 -0.35895150 -0.95379473 -20.566406 -54.648413
    Oben rechts KachelX + 1 3629 KachelY 5587 -0.35818451 -0.95379473 -20.522461 -54.648413
    Unten links KachelX 3628 KachelY + 1 5588 -0.35895150 -0.95423836 -20.566406 -54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 3629 KachelY + 1 5588 -0.35818451 -0.95423836 -20.522461 -54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95379473--0.95423836) × R
    0.000443629999999917 × 6371000     		dl = 2826.36672999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95379473--0.95423836) × R
    0.000443629999999917 × 6371000     		dr = 2826.36672999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35818451) × cos(-0.95379473) × R
    0.000766989999999967 × 0.578592216547265 × 6371000     		do = 2827.28698380432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35818451) × cos(-0.95423836) × R
    0.000766989999999967 × 0.578230327465654 × 6371000     		du = 2825.5186152353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95379473)-sin(-0.95423836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578592216547265-0.578230327465654)×R²
    abs(-0.35818451--0.35895150)×0.000361889081611499×R²
    0.000766989999999967×0.000361889081611499×6371000²
    0.000766989999999967×0.000361889081611499×40589641000000     		ar = 7988450.96915434m²