Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3627 / 5549
↖ ↑ ↗
← S 53.670680°
W 20.610351°		 ← 2 894.88 m → S 53.670680°
W 20.566406°		 →
↑
2 894.03 m
↓
↑
2 894.03 m
↓
S 53.696707°
W 20.610351°		 ← 2 893.09 m →
8 375 282 m²		 S 53.696707°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44281005859375 y=0.67742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44281005859375 × 213)
    floor (0.44281005859375 × 8192)
    floor (3627.5)     		tx = 3627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67742919921875 × 213)
    floor (0.67742919921875 × 8192)
    floor (5549.5)     		ty = 5549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3627 / 5549 ti = "13/3627/5549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3627/5549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3627 ÷ 213
    3627 ÷ 8192     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5549 ÷ 213
    5549 ÷ 8192     		y = 0.6773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11443704236707))-π/2
    2×atan(0.328099933280221)-π/2
    2×0.317033122826381-π/2
    0.634066245652762-1.57079632675     		φ = -0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3627 KachelY 5549 -0.35971849 -0.93673008 -20.610351 -53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 3628 KachelY 5549 -0.35895150 -0.93673008 -20.566406 -53.670680
    Unten links KachelX 3627 KachelY + 1 5550 -0.35971849 -0.93718433 -20.610351 -53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 3628 KachelY + 1 5550 -0.35895150 -0.93718433 -20.566406 -53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93673008--0.93718433) × R
    0.000454249999999989 × 6371000     		dl = 2894.02674999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93673008--0.93718433) × R
    0.000454249999999989 × 6371000     		dr = 2894.02674999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35895150) × cos(-0.93673008) × R
    0.000766990000000023 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 2894.88331654737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35895150) × cos(-0.93718433) × R
    0.000766990000000023 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 2893.09478002038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93673008)-sin(-0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592059501225734)×R²
    abs(-0.35895150--0.35971849)×0.000366016368148592×R²
    0.000766990000000023×0.000366016368148592×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366016368148592×40589641000000     		ar = 8375281.86395631m²