Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3624 / 5864
↖ ↑ ↗
← S 61.100789°
W 20.742188°		 ← 2 361.50 m → S 61.100789°
W 20.698242°		 →
↑
2 360.71 m
↓
↑
2 360.71 m
↓
S 61.122019°
W 20.742188°		 ← 2 359.91 m →
5 572 940 m²		 S 61.122019°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44244384765625 y=0.71588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44244384765625 × 213)
    floor (0.44244384765625 × 8192)
    floor (3624.5)     		tx = 3624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71588134765625 × 213)
    floor (0.71588134765625 × 8192)
    floor (5864.5)     		ty = 5864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3624 / 5864 ti = "13/3624/5864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3624/5864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3624 ÷ 213
    3624 ÷ 8192     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5864 ÷ 213
    5864 ÷ 8192     		y = 0.7158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7158203125 × 2 - 1) × π
    -0.431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35603901645215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35603901645215))-π/2
    2×atan(0.257679422155063)-π/2
    2×0.25219319306831-π/2
    0.504386386136621-1.57079632675     		φ = -1.06640994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06640994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.100789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3624 KachelY 5864 -0.36201947 -1.06640994 -20.742188 -61.100789
    Oben rechts KachelX + 1 3625 KachelY 5864 -0.36125248 -1.06640994 -20.698242 -61.100789
    Unten links KachelX 3624 KachelY + 1 5865 -0.36201947 -1.06678048 -20.742188 -61.122019
    Unten rechts KachelX + 1 3625 KachelY + 1 5865 -0.36125248 -1.06678048 -20.698242 -61.122019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06640994--1.06678048) × R
    0.00037054000000003 × 6371000     		dl = 2360.71034000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06640994--1.06678048) × R
    0.00037054000000003 × 6371000     		dr = 2360.71034000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36125248) × cos(-1.06640994) × R
    0.000766990000000023 × 0.483270330661515 × 6371000     		do = 2361.49722803364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36125248) × cos(-1.06678048) × R
    0.000766990000000023 × 0.482945900401315 × 6371000     		du = 2359.91190174411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06640994)-sin(-1.06678048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483270330661515-0.482945900401315)×R²
    abs(-0.36125248--0.36201947)×0.000324430260199626×R²
    0.000766990000000023×0.000324430260199626×6371000²
    0.000766990000000023×0.000324430260199626×40589641000000     		ar = 5572939.73978159m²