Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3622 / 5738
↖ ↑ ↗
← S 58.309489°
W 20.830078°		 ← 2 567.03 m → S 58.309489°
W 20.786133°		 →
↑
2 566.18 m
↓
↑
2 566.18 m
↓
S 58.332567°
W 20.830078°		 ← 2 565.35 m →
6 585 287 m²		 S 58.332567°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44219970703125 y=0.70050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44219970703125 × 213)
    floor (0.44219970703125 × 8192)
    floor (3622.5)     		tx = 3622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70050048828125 × 213)
    floor (0.70050048828125 × 8192)
    floor (5738.5)     		ty = 5738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3622 / 5738 ti = "13/3622/5738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3622/5738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3622 ÷ 213
    3622 ÷ 8192     		x = 0.442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5738 ÷ 213
    5738 ÷ 8192     		y = 0.700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.40087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25939822681812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36355345} λ = -0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25939822681812))-π/2
    2×atan(0.283824773256108)-π/2
    2×0.276551880694545-π/2
    0.553103761389091-1.57079632675     		φ = -1.01769257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01769257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.309489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3622 KachelY 5738 -0.36355345 -1.01769257 -20.830078 -58.309489
    Oben rechts KachelX + 1 3623 KachelY 5738 -0.36278646 -1.01769257 -20.786133 -58.309489
    Unten links KachelX 3622 KachelY + 1 5739 -0.36355345 -1.01809536 -20.830078 -58.332567
    Unten rechts KachelX + 1 3623 KachelY + 1 5739 -0.36278646 -1.01809536 -20.786133 -58.332567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01769257--1.01809536) × R
    0.000402790000000097 × 6371000     		dl = 2566.17509000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01769257--1.01809536) × R
    0.000402790000000097 × 6371000     		dr = 2566.17509000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36355345--0.36278646) × cos(-1.01769257) × R
    0.000766990000000023 × 0.525330735859434 × 6371000     		do = 2567.02511580796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36355345--0.36278646) × cos(-1.01809536) × R
    0.000766990000000023 × 0.524987959998437 × 6371000     		du = 2565.35014386323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01769257)-sin(-1.01809536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525330735859434-0.524987959998437)×R²
    abs(-0.36278646--0.36355345)×0.000342775860997069×R²
    0.000766990000000023×0.000342775860997069×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342775860997069×40589641000000     		ar = 6585286.86098586m²