Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3622 / 5730
↖ ↑ ↗
← S 58.124319°
W 20.830078°		 ← 2 580.45 m → S 58.124319°
W 20.786133°		 →
↑
2 579.62 m
↓
↑
2 579.62 m
↓
S 58.147519°
W 20.830078°		 ← 2 578.77 m →
6 654 406 m²		 S 58.147519°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44219970703125 y=0.69952392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44219970703125 × 213)
    floor (0.44219970703125 × 8192)
    floor (3622.5)     		tx = 3622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69952392578125 × 213)
    floor (0.69952392578125 × 8192)
    floor (5730.5)     		ty = 5730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3622 / 5730 ti = "13/3622/5730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3622/5730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3622 ÷ 213
    3622 ÷ 8192     		x = 0.442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5730 ÷ 213
    5730 ÷ 8192     		y = 0.699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36355345} λ = -0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25326230366675))-π/2
    2×atan(0.285571654135908)-π/2
    2×0.278167787106482-π/2
    0.556335574212965-1.57079632675     		φ = -1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3622 KachelY 5730 -0.36355345 -1.01446075 -20.830078 -58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 3623 KachelY 5730 -0.36278646 -1.01446075 -20.786133 -58.124319
    Unten links KachelX 3622 KachelY + 1 5731 -0.36355345 -1.01486565 -20.830078 -58.147519
    Unten rechts KachelX + 1 3623 KachelY + 1 5731 -0.36278646 -1.01486565 -20.786133 -58.147519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01446075--1.01486565) × R
    0.00040489999999993 × 6371000     		dl = 2579.61789999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01446075--1.01486565) × R
    0.00040489999999993 × 6371000     		dr = 2579.61789999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36355345--0.36278646) × cos(-1.01446075) × R
    0.000766990000000023 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 2580.44929672639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36355345--0.36278646) × cos(-1.01486565) × R
    0.000766990000000023 × 0.527734054498444 × 6371000     		du = 2578.76891621122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01446075)-sin(-1.01486565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.527734054498444)×R²
    abs(-0.36278646--0.36355345)×0.000343882701856257×R²
    0.000766990000000023×0.000343882701856257×6371000²
    0.000766990000000023×0.000343882701856257×40589641000000     		ar = 6654405.91695898m²