Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3619 / 5627
↖ ↑ ↗
← S 55.652798°
W 20.961914°		 ← 2 756.99 m → S 55.652798°
W 20.917969°		 →
↑
2 756.16 m
↓
↑
2 756.16 m
↓
S 55.677585°
W 20.961914°		 ← 2 755.25 m →
7 596 298 m²		 S 55.677585°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44183349609375 y=0.68695068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44183349609375 × 213)
    floor (0.44183349609375 × 8192)
    floor (3619.5)     		tx = 3619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68695068359375 × 213)
    floor (0.68695068359375 × 8192)
    floor (5627.5)     		ty = 5627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3619 / 5627 ti = "13/3619/5627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3619/5627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3619 ÷ 213
    3619 ÷ 8192     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5627 ÷ 213
    5627 ÷ 8192     		y = 0.6868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1742622930929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1742622930929))-π/2
    2×atan(0.309046881634465)-π/2
    2×0.299735881593625-π/2
    0.599471763187251-1.57079632675     		φ = -0.97132456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97132456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.652798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3619 KachelY 5627 -0.36585442 -0.97132456 -20.961914 -55.652798
    Oben rechts KachelX + 1 3620 KachelY 5627 -0.36508743 -0.97132456 -20.917969 -55.652798
    Unten links KachelX 3619 KachelY + 1 5628 -0.36585442 -0.97175717 -20.961914 -55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 3620 KachelY + 1 5628 -0.36508743 -0.97175717 -20.917969 -55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97132456--0.97175717) × R
    0.000432609999999944 × 6371000     		dl = 2756.15830999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97132456--0.97175717) × R
    0.000432609999999944 × 6371000     		dr = 2756.15830999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36508743) × cos(-0.97132456) × R
    0.000766990000000023 × 0.564206424961978 × 6371000     		do = 2756.99090975167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36508743) × cos(-0.97175717) × R
    0.000766990000000023 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 2755.24530674251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97132456)-sin(-0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564206424961978-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.36508743--0.36585442)×0.00035723020693379×R²
    0.000766990000000023×0.00035723020693379×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035723020693379×40589641000000     		ar = 7596297.94585687m²