Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3616 / 5546
↖ ↑ ↗
← S 53.592505°
W 21.093750°		 ← 2 900.25 m → S 53.592505°
W 21.049805°		 →
↑
2 899.38 m
↓
↑
2 899.38 m
↓
S 53.618579°
W 21.093750°		 ← 2 898.46 m →
8 406 333 m²		 S 53.618579°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44146728515625 y=0.67706298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44146728515625 × 213)
    floor (0.44146728515625 × 8192)
    floor (3616.5)     		tx = 3616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67706298828125 × 213)
    floor (0.67706298828125 × 8192)
    floor (5546.5)     		ty = 5546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3616 / 5546 ti = "13/3616/5546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3616/5546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3616 ÷ 213
    3616 ÷ 8192     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5546 ÷ 213
    5546 ÷ 8192     		y = 0.677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.35400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1121360711853))-π/2
    2×atan(0.328855750995356)-π/2
    2×0.317715331752566-π/2
    0.635430663505131-1.57079632675     		φ = -0.93536566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93536566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.592505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3616 KachelY 5546 -0.36815539 -0.93536566 -21.093750 -53.592505
    Oben rechts KachelX + 1 3617 KachelY 5546 -0.36738840 -0.93536566 -21.049805 -53.592505
    Unten links KachelX 3616 KachelY + 1 5547 -0.36815539 -0.93582075 -21.093750 -53.618579
    Unten rechts KachelX + 1 3617 KachelY + 1 5547 -0.36738840 -0.93582075 -21.049805 -53.618579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93536566--0.93582075) × R
    0.000455089999999991 × 6371000     		dl = 2899.37838999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93536566--0.93582075) × R
    0.000455089999999991 × 6371000     		dr = 2899.37838999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36738840) × cos(-0.93536566) × R
    0.000766990000000023 × 0.593524176982808 × 6371000     		do = 2900.25190827935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36738840) × cos(-0.93582075) × R
    0.000766990000000023 × 0.593157851747736 × 6371000     		du = 2898.46186247621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93536566)-sin(-0.93582075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593524176982808-0.593157851747736)×R²
    abs(-0.36738840--0.36815539)×0.000366325235072296×R²
    0.000766990000000023×0.000366325235072296×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366325235072296×40589641000000     		ar = 8406332.84344849m²