Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3615 / 5735
↖ ↑ ↗
← S 58.240164°
W 21.137695°		 ← 2 572.05 m → S 58.240164°
W 21.093750°		 →
↑
2 571.21 m
↓
↑
2 571.21 m
↓
S 58.263287°
W 21.137695°		 ← 2 570.38 m →
6 611 131 m²		 S 58.263287°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44134521484375 y=0.70013427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44134521484375 × 213)
    floor (0.44134521484375 × 8192)
    floor (3615.5)     		tx = 3615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70013427734375 × 213)
    floor (0.70013427734375 × 8192)
    floor (5735.5)     		ty = 5735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3615 / 5735 ti = "13/3615/5735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3615/5735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3615 ÷ 213
    3615 ÷ 8192     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5735 ÷ 213
    5735 ÷ 8192     		y = 0.7000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25709725563635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25709725563635))-π/2
    2×atan(0.284478597807295)-π/2
    2×0.277156858040612-π/2
    0.554313716081225-1.57079632675     		φ = -1.01648261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01648261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.240164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3615 KachelY 5735 -0.36892238 -1.01648261 -21.137695 -58.240164
    Oben rechts KachelX + 1 3616 KachelY 5735 -0.36815539 -1.01648261 -21.093750 -58.240164
    Unten links KachelX 3615 KachelY + 1 5736 -0.36892238 -1.01688619 -21.137695 -58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 3616 KachelY + 1 5736 -0.36815539 -1.01688619 -21.093750 -58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01648261--1.01688619) × R
    0.000403579999999959 × 6371000     		dl = 2571.20817999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01648261--1.01688619) × R
    0.000403579999999959 × 6371000     		dr = 2571.20817999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36815539) × cos(-1.01648261) × R
    0.000766989999999967 × 0.526359903759825 × 6371000     		do = 2572.05413784732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36815539) × cos(-1.01688619) × R
    0.000766989999999967 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 2570.37713467491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01648261)-sin(-1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526359903759825-0.526016712216751)×R²
    abs(-0.36815539--0.36892238)×0.000343191543073607×R²
    0.000766989999999967×0.000343191543073607×6371000²
    0.000766989999999967×0.000343191543073607×40589641000000     		ar = 6611130.76622985m²