Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3615 / 5729
↖ ↑ ↗
← S 58.101106°
W 21.137695°		 ← 2 582.13 m → S 58.101106°
W 21.093750°		 →
↑
2 581.27 m
↓
↑
2 581.27 m
↓
S 58.124319°
W 21.137695°		 ← 2 580.45 m →
6 663 017 m²		 S 58.124319°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44134521484375 y=0.69940185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44134521484375 × 213)
    floor (0.44134521484375 × 8192)
    floor (3615.5)     		tx = 3615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69940185546875 × 213)
    floor (0.69940185546875 × 8192)
    floor (5729.5)     		ty = 5729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3615 / 5729 ti = "13/3615/5729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3615/5729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3615 ÷ 213
    3615 ÷ 8192     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5729 ÷ 213
    5729 ÷ 8192     		y = 0.6993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25249531327283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25249531327283))-π/2
    2×atan(0.285790768870113)-π/2
    2×0.278370368418624-π/2
    0.556740736837249-1.57079632675     		φ = -1.01405559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01405559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.101106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3615 KachelY 5729 -0.36892238 -1.01405559 -21.137695 -58.101106
    Oben rechts KachelX + 1 3616 KachelY 5729 -0.36815539 -1.01405559 -21.093750 -58.101106
    Unten links KachelX 3615 KachelY + 1 5730 -0.36892238 -1.01446075 -21.137695 -58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 3616 KachelY + 1 5730 -0.36815539 -1.01446075 -21.093750 -58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01405559--1.01446075) × R
    0.000405160000000127 × 6371000     		dl = 2581.27436000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01405559--1.01446075) × R
    0.000405160000000127 × 6371000     		dr = 2581.27436000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36815539) × cos(-1.01405559) × R
    0.000766989999999967 × 0.528421954062251 × 6371000     		do = 2582.13033281377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36815539) × cos(-1.01446075) × R
    0.000766989999999967 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 2580.4492967262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01405559)-sin(-1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528421954062251-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.36815539--0.36892238)×0.000344016861950625×R²
    0.000766989999999967×0.000344016861950625×6371000²
    0.000766989999999967×0.000344016861950625×40589641000000     		ar = 6663017.30574699m²