Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3612 / 5644
↖ ↑ ↗
← S 56.072036°
W 21.269531°		 ← 2 727.40 m → S 56.072036°
W 21.225586°		 →
↑
2 726.53 m
↓
↑
2 726.53 m
↓
S 56.096556°
W 21.269531°		 ← 2 725.66 m →
7 433 972 m²		 S 56.096556°
W 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44097900390625 y=0.68902587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44097900390625 × 213)
    floor (0.44097900390625 × 8192)
    floor (3612.5)     		tx = 3612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68902587890625 × 213)
    floor (0.68902587890625 × 8192)
    floor (5644.5)     		ty = 5644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3612 / 5644 ti = "13/3612/5644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3612/5644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3612 ÷ 213
    3612 ÷ 8192     		x = 0.44091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5644 ÷ 213
    5644 ÷ 8192     		y = 0.68896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    -0.3779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18730112978955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37122335} λ = -0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18730112978955))-π/2
    2×atan(0.305043426729793)-π/2
    2×0.29607734476793-π/2
    0.59215468953586-1.57079632675     		φ = -0.97864164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97864164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.072036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3612 KachelY 5644 -0.37122335 -0.97864164 -21.269531 -56.072036
    Oben rechts KachelX + 1 3613 KachelY 5644 -0.37045636 -0.97864164 -21.225586 -56.072036
    Unten links KachelX 3612 KachelY + 1 5645 -0.37122335 -0.97906960 -21.269531 -56.096556
    Unten rechts KachelX + 1 3613 KachelY + 1 5645 -0.37045636 -0.97906960 -21.225586 -56.096556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97864164--0.97906960) × R
    0.000427960000000005 × 6371000     		dl = 2726.53316000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97864164--0.97906960) × R
    0.000427960000000005 × 6371000     		dr = 2726.53316000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37122335--0.37045636) × cos(-0.97864164) × R
    0.000766990000000023 × 0.558150146934739 × 6371000     		do = 2727.3969478092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37122335--0.37045636) × cos(-0.97906960) × R
    0.000766990000000023 × 0.557795000316603 × 6371000     		du = 2725.66152624271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97864164)-sin(-0.97906960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558150146934739-0.557795000316603)×R²
    abs(-0.37045636--0.37122335)×0.000355146618135405×R²
    0.000766990000000023×0.000355146618135405×6371000²
    0.000766990000000023×0.000355146618135405×40589641000000     		ar = 7433972.48992512m²