Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3608 / 5736
↖ ↑ ↗
← S 58.263287°
W 21.445312°		 ← 2 570.38 m → S 58.263287°
W 21.401367°		 →
↑
2 569.55 m
↓
↑
2 569.55 m
↓
S 58.286395°
W 21.445312°		 ← 2 568.70 m →
6 602 563 m²		 S 58.286395°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44049072265625 y=0.70025634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44049072265625 × 213)
    floor (0.44049072265625 × 8192)
    floor (3608.5)     		tx = 3608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70025634765625 × 213)
    floor (0.70025634765625 × 8192)
    floor (5736.5)     		ty = 5736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3608 / 5736 ti = "13/3608/5736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3608/5736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3608 ÷ 213
    3608 ÷ 8192     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5736 ÷ 213
    5736 ÷ 8192     		y = 0.7001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7001953125 × 2 - 1) × π
    -0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25786424603027))-π/2
    2×atan(0.284260489109831)-π/2
    2×0.276955067356672-π/2
    0.553910134713345-1.57079632675     		φ = -1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3608 KachelY 5736 -0.37429131 -1.01688619 -21.445312 -58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 3609 KachelY 5736 -0.37352432 -1.01688619 -21.401367 -58.263287
    Unten links KachelX 3608 KachelY + 1 5737 -0.37429131 -1.01728951 -21.445312 -58.286395
    Unten rechts KachelX + 1 3609 KachelY + 1 5737 -0.37352432 -1.01728951 -21.401367 -58.286395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01688619--1.01728951) × R
    0.000403319999999985 × 6371000     		dl = 2569.5517199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01688619--1.01728951) × R
    0.000403319999999985 × 6371000     		dr = 2569.5517199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37352432) × cos(-1.01688619) × R
    0.000766989999999967 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 2570.37713467491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37352432) × cos(-1.01728951) × R
    0.000766989999999967 × 0.525673656176211 × 6371000     		du = 2568.70079363471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01688619)-sin(-1.01728951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.525673656176211)×R²
    abs(-0.37352432--0.37429131)×0.000343056040540191×R²
    0.000766989999999967×0.000343056040540191×6371000²
    0.000766989999999967×0.000343056040540191×40589641000000     		ar = 6602563.35445104m²