Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3602 / 5650
↖ ↑ ↗
← S 56.218923°
W 21.708984°		 ← 2 716.99 m → S 56.218923°
W 21.665039°		 →
↑
2 716.15 m
↓
↑
2 716.15 m
↓
S 56.243350°
W 21.708984°		 ← 2 715.26 m →
7 377 406 m²		 S 56.243350°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43975830078125 y=0.68975830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43975830078125 × 213)
    floor (0.43975830078125 × 8192)
    floor (3602.5)     		tx = 3602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68975830078125 × 213)
    floor (0.68975830078125 × 8192)
    floor (5650.5)     		ty = 5650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3602 / 5650 ti = "13/3602/5650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3602/5650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3602 ÷ 213
    3602 ÷ 8192     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5650 ÷ 213
    5650 ÷ 8192     		y = 0.689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19190307215308))-π/2
    2×atan(0.30364285959797)-π/2
    2×0.294795507618545-π/2
    0.58959101523709-1.57079632675     		φ = -0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3602 KachelY 5650 -0.37889325 -0.98120531 -21.708984 -56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 3603 KachelY 5650 -0.37812626 -0.98120531 -21.665039 -56.218923
    Unten links KachelX 3602 KachelY + 1 5651 -0.37889325 -0.98163164 -21.708984 -56.243350
    Unten rechts KachelX + 1 3603 KachelY + 1 5651 -0.37812626 -0.98163164 -21.665039 -56.243350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98120531--0.98163164) × R
    0.00042633000000003 × 6371000     		dl = 2716.14843000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98120531--0.98163164) × R
    0.00042633000000003 × 6371000     		dr = 2716.14843000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37812626) × cos(-0.98120531) × R
    0.000766990000000023 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 2716.99354825446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37812626) × cos(-0.98163164) × R
    0.000766990000000023 × 0.555666733171665 × 6371000     		du = 2715.26176311964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98120531)-sin(-0.98163164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.555666733171665)×R²
    abs(-0.37812626--0.37889325)×0.000354402437911738×R²
    0.000766990000000023×0.000354402437911738×6371000²
    0.000766990000000023×0.000354402437911738×40589641000000     		ar = 7377405.97941602m²