Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3601 / 5745
↖ ↑ ↗
← S 58.470721°
W 21.752929°		 ← 2 555.31 m → S 58.470721°
W 21.708984°		 →
↑
2 554.52 m
↓
↑
2 554.52 m
↓
S 58.493694°
W 21.752929°		 ← 2 553.64 m →
6 525 459 m²		 S 58.493694°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43963623046875 y=0.70135498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43963623046875 × 213)
    floor (0.43963623046875 × 8192)
    floor (3601.5)     		tx = 3601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70135498046875 × 213)
    floor (0.70135498046875 × 8192)
    floor (5745.5)     		ty = 5745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3601 / 5745 ti = "13/3601/5745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3601/5745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3601 ÷ 213
    3601 ÷ 8192     		x = 0.4395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5745 ÷ 213
    5745 ÷ 8192     		y = 0.7012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.26476715957556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37966024} λ = -0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26476715957556))-π/2
    2×atan(0.282305020509378)-π/2
    2×0.275144866209249-π/2
    0.550289732418499-1.57079632675     		φ = -1.02050659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02050659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.470721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3601 KachelY 5745 -0.37966024 -1.02050659 -21.752929 -58.470721
    Oben rechts KachelX + 1 3602 KachelY 5745 -0.37889325 -1.02050659 -21.708984 -58.470721
    Unten links KachelX 3601 KachelY + 1 5746 -0.37966024 -1.02090755 -21.752929 -58.493694
    Unten rechts KachelX + 1 3602 KachelY + 1 5746 -0.37889325 -1.02090755 -21.708984 -58.493694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02050659--1.02090755) × R
    0.000400959999999895 × 6371000     		dl = 2554.51615999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02050659--1.02090755) × R
    0.000400959999999895 × 6371000     		dr = 2554.51615999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37966024--0.37889325) × cos(-1.02050659) × R
    0.000766989999999967 × 0.522934214710676 × 6371000     		do = 2555.31453129503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37966024--0.37889325) × cos(-1.02090755) × R
    0.000766989999999967 × 0.522592405188104 × 6371000     		du = 2553.64428135652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02050659)-sin(-1.02090755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522934214710676-0.522592405188104)×R²
    abs(-0.37889325--0.37966024)×0.000341809522571568×R²
    0.000766989999999967×0.000341809522571568×6371000²
    0.000766989999999967×0.000341809522571568×40589641000000     		ar = 6525459.01127155m²