Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3600 / 5744
↖ ↑ ↗
← S 58.447733°
W 21.796875°		 ← 2 557.02 m → S 58.447733°
W 21.752929°		 →
↑
2 556.11 m
↓
↑
2 556.11 m
↓
S 58.470721°
W 21.796875°		 ← 2 555.35 m →
6 533 883 m²		 S 58.470721°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43951416015625 y=0.70123291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43951416015625 × 213)
    floor (0.43951416015625 × 8192)
    floor (3600.5)     		tx = 3600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70123291015625 × 213)
    floor (0.70123291015625 × 8192)
    floor (5744.5)     		ty = 5744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3600 / 5744 ti = "13/3600/5744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3600/5744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3600 ÷ 213
    3600 ÷ 8192     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5744 ÷ 213
    5744 ÷ 8192     		y = 0.701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.701171875 × 2 - 1) × π
    -0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26400016918164))-π/2
    2×atan(0.282521628805887)-π/2
    2×0.275345474530005-π/2
    0.550690949060009-1.57079632675     		φ = -1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3600 KachelY 5744 -0.38042724 -1.02010538 -21.796875 -58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 3601 KachelY 5744 -0.37966024 -1.02010538 -21.752929 -58.447733
    Unten links KachelX 3600 KachelY + 1 5745 -0.38042724 -1.02050659 -21.796875 -58.470721
    Unten rechts KachelX + 1 3601 KachelY + 1 5745 -0.37966024 -1.02050659 -21.752929 -58.470721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02010538--1.02050659) × R
    0.000401210000000152 × 6371000     		dl = 2556.10891000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02010538--1.02050659) × R
    0.000401210000000152 × 6371000     		dr = 2556.10891000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(-1.02010538) × R
    0.000767000000000018 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 2557.01874936475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(-1.02050659) × R
    0.000767000000000018 × 0.522934214710676 × 6371000     		du = 2555.34784743402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02010538)-sin(-1.02050659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.522934214710676)×R²
    abs(-0.37966024--0.38042724)×0.000341938491811966×R²
    0.000767000000000018×0.000341938491811966×6371000²
    0.000767000000000018×0.000341938491811966×40589641000000     		ar = 6533882.992279m²