Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3600 / 5652
↖ ↑ ↗
← S 56.267761°
W 21.796875°		 ← 2 713.57 m → S 56.267761°
W 21.752929°		 →
↑
2 712.71 m
↓
↑
2 712.71 m
↓
S 56.292157°
W 21.796875°		 ← 2 711.84 m →
7 358 765 m²		 S 56.292157°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43951416015625 y=0.69000244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43951416015625 × 213)
    floor (0.43951416015625 × 8192)
    floor (3600.5)     		tx = 3600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69000244140625 × 213)
    floor (0.69000244140625 × 8192)
    floor (5652.5)     		ty = 5652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3600 / 5652 ti = "13/3600/5652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3600/5652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3600 ÷ 213
    3600 ÷ 8192     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5652 ÷ 213
    5652 ÷ 8192     		y = 0.68994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19343705294092))-π/2
    2×atan(0.30317743435294)-π/2
    2×0.294369316555048-π/2
    0.588738633110095-1.57079632675     		φ = -0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3600 KachelY 5652 -0.38042724 -0.98205769 -21.796875 -56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 3601 KachelY 5652 -0.37966024 -0.98205769 -21.752929 -56.267761
    Unten links KachelX 3600 KachelY + 1 5653 -0.38042724 -0.98248348 -21.796875 -56.292157
    Unten rechts KachelX + 1 3601 KachelY + 1 5653 -0.37966024 -0.98248348 -21.752929 -56.292157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98205769--0.98248348) × R
    0.000425789999999981 × 6371000     		dl = 2712.70808999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98205769--0.98248348) × R
    0.000425789999999981 × 6371000     		dr = 2712.70808999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(-0.98205769) × R
    0.000767000000000018 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 2713.56600129072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(-0.98248348) × R
    0.000767000000000018 × 0.554958307511156 × 6371000     		du = 2711.83540227685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98205769)-sin(-0.98248348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.554958307511156)×R²
    abs(-0.37966024--0.38042724)×0.000354155085854346×R²
    0.000767000000000018×0.000354155085854346×6371000²
    0.000767000000000018×0.000354155085854346×40589641000000     		ar = 7358765.25065098m²