Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3595 / 5528
↖ ↑ ↗
← S 53.120405°
W 22.016602°		 ← 2 932.56 m → S 53.120405°
W 21.972656°		 →
↑
2 931.68 m
↓
↑
2 931.68 m
↓
S 53.146770°
W 22.016602°		 ← 2 930.76 m →
8 594 682 m²		 S 53.146770°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43890380859375 y=0.67486572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43890380859375 × 213)
    floor (0.43890380859375 × 8192)
    floor (3595.5)     		tx = 3595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67486572265625 × 213)
    floor (0.67486572265625 × 8192)
    floor (5528.5)     		ty = 5528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3595 / 5528 ti = "13/3595/5528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3595/5528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3595 ÷ 213
    3595 ÷ 8192     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5528 ÷ 213
    5528 ÷ 8192     		y = 0.6748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6748046875 × 2 - 1) × π
    -0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09833024409473))-π/2
    2×atan(0.333427361450564)-π/2
    2×0.321835177314868-π/2
    0.643670354629736-1.57079632675     		φ = -0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3595 KachelY 5528 -0.38426219 -0.92712597 -22.016602 -53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 3596 KachelY 5528 -0.38349520 -0.92712597 -21.972656 -53.120405
    Unten links KachelX 3595 KachelY + 1 5529 -0.38426219 -0.92758613 -22.016602 -53.146770
    Unten rechts KachelX + 1 3596 KachelY + 1 5529 -0.38349520 -0.92758613 -21.972656 -53.146770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92712597--0.92758613) × R
    0.000460160000000043 × 6371000     		dl = 2931.67936000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92712597--0.92758613) × R
    0.000460160000000043 × 6371000     		dr = 2931.67936000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38349520) × cos(-0.92712597) × R
    0.000766990000000023 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 2932.5575553844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38349520) × cos(-0.92758613) × R
    0.000766990000000023 × 0.599767245015635 × 6371000     		du = 2930.75861833078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92712597)-sin(-0.92758613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.599767245015635)×R²
    abs(-0.38349520--0.38426219)×0.000368144791542235×R²
    0.000766990000000023×0.000368144791542235×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368144791542235×40589641000000     		ar = 8594681.65547726m²