Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3586 / 5558
↖ ↑ ↗
← S 53.904338°
W 22.412109°		 ← 2 878.81 m → S 53.904338°
W 22.368164°		 →
↑
2 877.91 m
↓
↑
2 877.91 m
↓
S 53.930220°
W 22.412109°		 ← 2 877.02 m →
8 282 370 m²		 S 53.930220°
W 22.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43780517578125 y=0.67852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43780517578125 × 213)
    floor (0.43780517578125 × 8192)
    floor (3586.5)     		tx = 3586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67852783203125 × 213)
    floor (0.67852783203125 × 8192)
    floor (5558.5)     		ty = 5558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3586 / 5558 ti = "13/3586/5558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3586/5558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3586 ÷ 213
    3586 ÷ 8192     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5558 ÷ 213
    5558 ÷ 8192     		y = 0.678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.35693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12133995591235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12133995591235))-π/2
    2×atan(0.32584288686709)-π/2
    2×0.314994072439188-π/2
    0.629988144878375-1.57079632675     		φ = -0.94080818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94080818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.904338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3586 KachelY 5558 -0.39116510 -0.94080818 -22.412109 -53.904338
    Oben rechts KachelX + 1 3587 KachelY 5558 -0.39039811 -0.94080818 -22.368164 -53.904338
    Unten links KachelX 3586 KachelY + 1 5559 -0.39116510 -0.94125990 -22.412109 -53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 3587 KachelY + 1 5559 -0.39039811 -0.94125990 -22.368164 -53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94080818--0.94125990) × R
    0.000451720000000044 × 6371000     		dl = 2877.90812000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94080818--0.94125990) × R
    0.000451720000000044 × 6371000     		dr = 2877.90812000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(-0.94080818) × R
    0.000766989999999967 × 0.589135180185098 × 6371000     		do = 2878.8051048773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(-0.94125990) × R
    0.000766989999999967 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 2877.0212150793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94080818)-sin(-0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589135180185098-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.39039811--0.39116510)×0.000365065434889233×R²
    0.000766989999999967×0.000365065434889233×6371000²
    0.000766989999999967×0.000365065434889233×40589641000000     		ar = 8282369.7925942m²