Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3581 / 5666
↖ ↑ ↗
← S 56.607885°
W 22.631836°		 ← 2 689.36 m → S 56.607885°
W 22.587890°		 →
↑
2 688.50 m
↓
↑
2 688.50 m
↓
S 56.632063°
W 22.631836°		 ← 2 687.64 m →
7 228 022 m²		 S 56.632063°
W 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43719482421875 y=0.69171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43719482421875 × 213)
    floor (0.43719482421875 × 8192)
    floor (3581.5)     		tx = 3581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69171142578125 × 213)
    floor (0.69171142578125 × 8192)
    floor (5666.5)     		ty = 5666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3581 / 5666 ti = "13/3581/5666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3581/5666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3581 ÷ 213
    3581 ÷ 8192     		x = 0.4371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5666 ÷ 213
    5666 ÷ 8192     		y = 0.691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39500005} λ = -0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20417491845581))-π/2
    2×atan(0.299939371888143)-π/2
    2×0.291401171428793-π/2
    0.582802342857586-1.57079632675     		φ = -0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3581 KachelY 5666 -0.39500005 -0.98799398 -22.631836 -56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 3582 KachelY 5666 -0.39423306 -0.98799398 -22.587890 -56.607885
    Unten links KachelX 3581 KachelY + 1 5667 -0.39500005 -0.98841597 -22.631836 -56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 3582 KachelY + 1 5667 -0.39423306 -0.98841597 -22.587890 -56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98799398--0.98841597) × R
    0.000421989999999983 × 6371000     		dl = 2688.49828999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98799398--0.98841597) × R
    0.000421989999999983 × 6371000     		dr = 2688.49828999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39500005--0.39423306) × cos(-0.98799398) × R
    0.000766989999999967 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 2689.35898564595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39500005--0.39423306) × cos(-0.98841597) × R
    0.000766989999999967 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 2687.6370909152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98799398)-sin(-0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.550013461885939)×R²
    abs(-0.39423306--0.39500005)×0.000352378408923992×R²
    0.000766989999999967×0.000352378408923992×6371000²
    0.000766989999999967×0.000352378408923992×40589641000000     		ar = 7228022.48584663m²