Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3574 / 5529
↖ ↑ ↗
← S 53.146770°
W 22.939453°		 ← 2 930.76 m → S 53.146770°
W 22.895508°		 →
↑
2 929.83 m
↓
↑
2 929.83 m
↓
S 53.173119°
W 22.939453°		 ← 2 928.96 m →
8 583 995 m²		 S 53.173119°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43634033203125 y=0.67498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43634033203125 × 213)
    floor (0.43634033203125 × 8192)
    floor (3574.5)     		tx = 3574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67498779296875 × 213)
    floor (0.67498779296875 × 8192)
    floor (5529.5)     		ty = 5529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3574 / 5529 ti = "13/3574/5529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3574/5529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3574 ÷ 213
    3574 ÷ 8192     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5529 ÷ 213
    5529 ÷ 8192     		y = 0.6749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09909723448865))-π/2
    2×atan(0.33317172391556)-π/2
    2×0.321605098869577-π/2
    0.643210197739155-1.57079632675     		φ = -0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3574 KachelY 5529 -0.40036899 -0.92758613 -22.939453 -53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 3575 KachelY 5529 -0.39960200 -0.92758613 -22.895508 -53.146770
    Unten links KachelX 3574 KachelY + 1 5530 -0.40036899 -0.92804600 -22.939453 -53.173119
    Unten rechts KachelX + 1 3575 KachelY + 1 5530 -0.39960200 -0.92804600 -22.895508 -53.173119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92758613--0.92804600) × R
    0.000459870000000029 × 6371000     		dl = 2929.83177000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92758613--0.92804600) × R
    0.000459870000000029 × 6371000     		dr = 2929.83177000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(-0.92758613) × R
    0.000766989999999967 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 2930.75861833056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(-0.92804600) × R
    0.000766989999999967 × 0.599399205355641 × 6371000     		du = 2928.96019500155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92758613)-sin(-0.92804600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599399205355641)×R²
    abs(-0.39960200--0.40036899)×0.000368039659994324×R²
    0.000766989999999967×0.000368039659994324×6371000²
    0.000766989999999967×0.000368039659994324×40589641000000     		ar = 8583995.32256201m²