Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3573 / 5669
↖ ↑ ↗
← S 56.680374°
W 22.983399°		 ← 2 684.20 m → S 56.680374°
W 22.939453°		 →
↑
2 683.34 m
↓
↑
2 683.34 m
↓
S 56.704505°
W 22.983399°		 ← 2 682.48 m →
7 200 295 m²		 S 56.704505°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43621826171875 y=0.69207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43621826171875 × 213)
    floor (0.43621826171875 × 8192)
    floor (3573.5)     		tx = 3573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69207763671875 × 213)
    floor (0.69207763671875 × 8192)
    floor (5669.5)     		ty = 5669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3573 / 5669 ti = "13/3573/5669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3573/5669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3573 ÷ 213
    3573 ÷ 8192     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5669 ÷ 213
    5669 ÷ 8192     		y = 0.6920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20647588963757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20647588963757))-π/2
    2×atan(0.299250013438265)-π/2
    2×0.290768591462972-π/2
    0.581537182925945-1.57079632675     		φ = -0.98925914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98925914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.680374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3573 KachelY 5669 -0.40113598 -0.98925914 -22.983399 -56.680374
    Oben rechts KachelX + 1 3574 KachelY 5669 -0.40036899 -0.98925914 -22.939453 -56.680374
    Unten links KachelX 3573 KachelY + 1 5670 -0.40113598 -0.98968032 -22.983399 -56.704505
    Unten rechts KachelX + 1 3574 KachelY + 1 5670 -0.40036899 -0.98968032 -22.939453 -56.704505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98925914--0.98968032) × R
    0.00042117999999991 × 6371000     		dl = 2683.33777999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98925914--0.98968032) × R
    0.00042117999999991 × 6371000     		dr = 2683.33777999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40036899) × cos(-0.98925914) × R
    0.000766990000000023 × 0.549309088150767 × 6371000     		do = 2684.19517338482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40036899) × cos(-0.98968032) × R
    0.000766990000000023 × 0.548957093325112 × 6371000     		du = 2682.47515303114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98925914)-sin(-0.98968032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549309088150767-0.548957093325112)×R²
    abs(-0.40036899--0.40113598)×0.000351994825655733×R²
    0.000766990000000023×0.000351994825655733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351994825655733×40589641000000     		ar = 7200294.72627685m²