Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3572 / 5668
↖ ↑ ↗
← S 56.656226°
W 23.027344°		 ← 2 685.92 m → S 56.656226°
W 22.983399°		 →
↑
2 685.06 m
↓
↑
2 685.06 m
↓
S 56.680374°
W 23.027344°		 ← 2 684.20 m →
7 209 530 m²		 S 56.680374°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43609619140625 y=0.69195556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43609619140625 × 213)
    floor (0.43609619140625 × 8192)
    floor (3572.5)     		tx = 3572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69195556640625 × 213)
    floor (0.69195556640625 × 8192)
    floor (5668.5)     		ty = 5668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3572 / 5668 ti = "13/3572/5668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3572/5668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3572 ÷ 213
    3572 ÷ 8192     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5668 ÷ 213
    5668 ÷ 8192     		y = 0.69189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69189453125 × 2 - 1) × π
    -0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20570889924365))-π/2
    2×atan(0.299479623367001)-π/2
    2×0.290979316373292-π/2
    0.581958632746584-1.57079632675     		φ = -0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3572 KachelY 5668 -0.40190297 -0.98883769 -23.027344 -56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 3573 KachelY 5668 -0.40113598 -0.98883769 -22.983399 -56.656226
    Unten links KachelX 3572 KachelY + 1 5669 -0.40190297 -0.98925914 -23.027344 -56.680374
    Unten rechts KachelX + 1 3573 KachelY + 1 5669 -0.40113598 -0.98925914 -22.983399 -56.680374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98883769--0.98925914) × R
    0.000421450000000045 × 6371000     		dl = 2685.05795000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98883769--0.98925914) × R
    0.000421450000000045 × 6371000     		dr = 2685.05795000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40113598) × cos(-0.98883769) × R
    0.000766990000000023 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 2685.91581975365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40113598) × cos(-0.98925914) × R
    0.000766990000000023 × 0.549309088150767 × 6371000     		du = 2684.19517338482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98883769)-sin(-0.98925914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.549309088150767)×R²
    abs(-0.40113598--0.40190297)×0.000352122936984056×R²
    0.000766990000000023×0.000352122936984056×6371000²
    0.000766990000000023×0.000352122936984056×40589641000000     		ar = 7209529.71396765m²