Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3568 / 5616
↖ ↑ ↗
← S 55.379110°
W 23.203125°		 ← 2 776.23 m → S 55.379110°
W 23.159180°		 →
↑
2 775.40 m
↓
↑
2 775.40 m
↓
S 55.404070°
W 23.203125°		 ← 2 774.48 m →
7 702 717 m²		 S 55.404070°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43560791015625 y=0.68560791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43560791015625 × 213)
    floor (0.43560791015625 × 8192)
    floor (3568.5)     		tx = 3568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68560791015625 × 213)
    floor (0.68560791015625 × 8192)
    floor (5616.5)     		ty = 5616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3568 / 5616 ti = "13/3568/5616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3568/5616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3568 ÷ 213
    3568 ÷ 8192     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5616 ÷ 213
    5616 ÷ 8192     		y = 0.685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685546875 × 2 - 1) × π
    -0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16582539875977))-π/2
    2×atan(0.311665307678855)-π/2
    2×0.302124256335227-π/2
    0.604248512670453-1.57079632675     		φ = -0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3568 KachelY 5616 -0.40497093 -0.96654781 -23.203125 -55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 3569 KachelY 5616 -0.40420394 -0.96654781 -23.159180 -55.379110
    Unten links KachelX 3568 KachelY + 1 5617 -0.40497093 -0.96698344 -23.203125 -55.404070
    Unten rechts KachelX + 1 3569 KachelY + 1 5617 -0.40420394 -0.96698344 -23.159180 -55.404070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96654781--0.96698344) × R
    0.00043563000000002 × 6371000     		dl = 2775.39873000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96654781--0.96698344) × R
    0.00043563000000002 × 6371000     		dr = 2775.39873000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40420394) × cos(-0.96654781) × R
    0.000766990000000023 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 2776.23096030956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40420394) × cos(-0.96698344) × R
    0.000766990000000023 × 0.567785272626456 × 6371000     		du = 2774.47892485008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96654781)-sin(-0.96698344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.567785272626456)×R²
    abs(-0.40420394--0.40497093)×0.00035854658044232×R²
    0.000766990000000023×0.00035854658044232×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035854658044232×40589641000000     		ar = 7702716.70475235m²