Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3545 / 5609
↖ ↑ ↗
← S 55.203953°
W 24.213867°		 ← 2 788.51 m → S 55.203953°
W 24.169922°		 →
↑
2 787.63 m
↓
↑
2 787.63 m
↓
S 55.229023°
W 24.213867°		 ← 2 786.76 m →
7 770 893 m²		 S 55.229023°
W 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43280029296875 y=0.68475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43280029296875 × 213)
    floor (0.43280029296875 × 8192)
    floor (3545.5)     		tx = 3545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68475341796875 × 213)
    floor (0.68475341796875 × 8192)
    floor (5609.5)     		ty = 5609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3545 / 5609 ti = "13/3545/5609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3545/5609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3545 ÷ 213
    3545 ÷ 8192     		x = 0.4327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5609 ÷ 213
    5609 ÷ 8192     		y = 0.6846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16045646600232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42261171} λ = -0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16045646600232))-π/2
    2×atan(0.313343117753047)-π/2
    2×0.303652791173567-π/2
    0.607305582347135-1.57079632675     		φ = -0.96349074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96349074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.203953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3545 KachelY 5609 -0.42261171 -0.96349074 -24.213867 -55.203953
    Oben rechts KachelX + 1 3546 KachelY 5609 -0.42184472 -0.96349074 -24.169922 -55.203953
    Unten links KachelX 3545 KachelY + 1 5610 -0.42261171 -0.96392829 -24.213867 -55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 3546 KachelY + 1 5610 -0.42184472 -0.96392829 -24.169922 -55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96349074--0.96392829) × R
    0.000437550000000009 × 6371000     		dl = 2787.63105000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96349074--0.96392829) × R
    0.000437550000000009 × 6371000     		dr = 2787.63105000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42261171--0.42184472) × cos(-0.96349074) × R
    0.000766989999999967 × 0.570656912861616 × 6371000     		do = 2788.51117559028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42261171--0.42184472) × cos(-0.96392829) × R
    0.000766989999999967 × 0.570297547182735 × 6371000     		du = 2786.75513761178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96349074)-sin(-0.96392829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570656912861616-0.570297547182735)×R²
    abs(-0.42184472--0.42261171)×0.00035936567888073×R²
    0.000766989999999967×0.00035936567888073×6371000²
    0.000766989999999967×0.00035936567888073×40589641000000     		ar = 7770892.86733124m²