Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3543 / 5607
↖ ↑ ↗
← S 55.153766°
W 24.301758°		 ← 2 792.02 m → S 55.153766°
W 24.257813°		 →
↑
2 791.14 m
↓
↑
2 791.14 m
↓
S 55.178868°
W 24.301758°		 ← 2 790.27 m →
7 790 467 m²		 S 55.178868°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43255615234375 y=0.68450927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43255615234375 × 213)
    floor (0.43255615234375 × 8192)
    floor (3543.5)     		tx = 3543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68450927734375 × 213)
    floor (0.68450927734375 × 8192)
    floor (5607.5)     		ty = 5607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3543 / 5607 ti = "13/3543/5607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3543/5607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3543 ÷ 213
    3543 ÷ 8192     		x = 0.4324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5607 ÷ 213
    5607 ÷ 8192     		y = 0.6844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15892248521448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42414569} λ = -0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15892248521448))-π/2
    2×atan(0.313824148927647)-π/2
    2×0.304090755276245-π/2
    0.608181510552491-1.57079632675     		φ = -0.96261482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96261482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.153766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3543 KachelY 5607 -0.42414569 -0.96261482 -24.301758 -55.153766
    Oben rechts KachelX + 1 3544 KachelY 5607 -0.42337870 -0.96261482 -24.257813 -55.153766
    Unten links KachelX 3543 KachelY + 1 5608 -0.42414569 -0.96305292 -24.301758 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 3544 KachelY + 1 5608 -0.42337870 -0.96305292 -24.257813 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96261482--0.96305292) × R
    0.000438099999999997 × 6371000     		dl = 2791.13509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96261482--0.96305292) × R
    0.000438099999999997 × 6371000     		dr = 2791.13509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42414569--0.42337870) × cos(-0.96261482) × R
    0.000766990000000023 × 0.571375989358495 × 6371000     		do = 2792.02493806748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42414569--0.42337870) × cos(-0.96305292) × R
    0.000766990000000023 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 2790.26776281667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96261482)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571375989358495-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.42337870--0.42414569)×0.000359598416805551×R²
    0.000766990000000023×0.000359598416805551×6371000²
    0.000766990000000023×0.000359598416805551×40589641000000     		ar = 7790466.6725602m²