Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 354 / 225
↖ ↑ ↗
← N 21.289374°
E 68.906250°		 ← 72.849 km → N 21.289374°
E 69.609375°		 →
↑
73.009 km
↓
↑
73.009 km
↓
N 20.632784°
E 68.906250°		 ← 73.169 km →
5 330.39 km²		 N 20.632784°
E 69.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6923828125 y=0.4404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6923828125 × 29)
    floor (0.6923828125 × 512)
    floor (354.5)     		tx = 354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4404296875 × 29)
    floor (0.4404296875 × 512)
    floor (225.5)     		ty = 225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 354 / 225 ti = "9/354/225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/354/225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 354 ÷ 29
    354 ÷ 512     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 225 ÷ 29
    225 ÷ 512     		y = 0.439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439453125 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380427235384766))-π/2
    2×atan(1.46290946262789)-π/2
    2×0.971183002492088-π/2
    1.94236600498418-1.57079632675     		φ = 0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 354 KachelY 225 1.20264094 0.37156968 68.906250 21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 355 KachelY 225 1.21491278 0.37156968 69.609375 21.289374
    Unten links KachelX 354 KachelY + 1 226 1.20264094 0.36011002 68.906250 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 355 KachelY + 1 226 1.21491278 0.36011002 69.609375 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37156968-0.36011002) × R
    0.01145966 × 6371000     		dl = 73009.4938600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37156968-0.36011002) × R
    0.01145966 × 6371000     		dr = 73009.4938600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.21491278) × cos(0.37156968) × R
    0.0122718399999999 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 72848.512530992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.21491278) × cos(0.36011002) × R
    0.0122718399999999 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 73169.0261520712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37156968)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.935858060802633)×R²
    abs(1.21491278-1.20264094)×0.00409948405300042×R²
    0.0122718399999999×0.00409948405300042×6371000²
    0.0122718399999999×0.00409948405300042×40589641000000     		ar = 5330391631.03803m²