Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3539 / 5677
↖ ↑ ↗
← S 56.872996°
W 24.477539°		 ← 2 670.45 m → S 56.872996°
W 24.433594°		 →
↑
2 669.58 m
↓
↑
2 669.58 m
↓
S 56.897004°
W 24.477539°		 ← 2 668.74 m →
7 126 688 m²		 S 56.897004°
W 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43206787109375 y=0.69305419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43206787109375 × 213)
    floor (0.43206787109375 × 8192)
    floor (3539.5)     		tx = 3539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69305419921875 × 213)
    floor (0.69305419921875 × 8192)
    floor (5677.5)     		ty = 5677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3539 / 5677 ti = "13/3539/5677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3539/5677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3539 ÷ 213
    3539 ÷ 8192     		x = 0.4320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5677 ÷ 213
    5677 ÷ 8192     		y = 0.6929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.385986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21261181278894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42721365} λ = -0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21261181278894))-π/2
    2×atan(0.297419460163161)-π/2
    2×0.289087648504066-π/2
    0.578175297008133-1.57079632675     		φ = -0.99262103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99262103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.872996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3539 KachelY 5677 -0.42721365 -0.99262103 -24.477539 -56.872996
    Oben rechts KachelX + 1 3540 KachelY 5677 -0.42644666 -0.99262103 -24.433594 -56.872996
    Unten links KachelX 3539 KachelY + 1 5678 -0.42721365 -0.99304005 -24.477539 -56.897004
    Unten rechts KachelX + 1 3540 KachelY + 1 5678 -0.42644666 -0.99304005 -24.433594 -56.897004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99262103--0.99304005) × R
    0.000419019999999937 × 6371000     		dl = 2669.5764199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99262103--0.99304005) × R
    0.000419019999999937 × 6371000     		dr = 2669.5764199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42721365--0.42644666) × cos(-0.99262103) × R
    0.000766990000000023 × 0.546496729226556 × 6371000     		do = 2670.45260037259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42721365--0.42644666) × cos(-0.99304005) × R
    0.000766990000000023 × 0.546145768252595 × 6371000     		du = 2668.73763192828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99262103)-sin(-0.99304005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546496729226556-0.546145768252595)×R²
    abs(-0.42644666--0.42721365)×0.000350960973961256×R²
    0.000766990000000023×0.000350960973961256×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350960973961256×40589641000000     		ar = 7126688.27729351m²