Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3536 / 5680
↖ ↑ ↗
← S 56.944974°
W 24.609375°		 ← 2 665.31 m → S 56.944974°
W 24.565430°		 →
↑
2 664.48 m
↓
↑
2 664.48 m
↓
S 56.968936°
W 24.609375°		 ← 2 663.60 m →
7 099 381 m²		 S 56.968936°
W 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43170166015625 y=0.69342041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43170166015625 × 213)
    floor (0.43170166015625 × 8192)
    floor (3536.5)     		tx = 3536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69342041015625 × 213)
    floor (0.69342041015625 × 8192)
    floor (5680.5)     		ty = 5680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3536 / 5680 ti = "13/3536/5680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3536/5680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3536 ÷ 213
    3536 ÷ 8192     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5680 ÷ 213
    5680 ÷ 8192     		y = 0.693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693359375 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2149127839707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2149127839707))-π/2
    2×atan(0.29673589329186)-π/2
    2×0.288459517447408-π/2
    0.576919034894816-1.57079632675     		φ = -0.99387729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99387729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.944974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3536 KachelY 5680 -0.42951462 -0.99387729 -24.609375 -56.944974
    Oben rechts KachelX + 1 3537 KachelY 5680 -0.42874763 -0.99387729 -24.565430 -56.944974
    Unten links KachelX 3536 KachelY + 1 5681 -0.42951462 -0.99429551 -24.609375 -56.968936
    Unten rechts KachelX + 1 3537 KachelY + 1 5681 -0.42874763 -0.99429551 -24.565430 -56.968936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99387729--0.99429551) × R
    0.000418220000000025 × 6371000     		dl = 2664.47962000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99387729--0.99429551) × R
    0.000418220000000025 × 6371000     		dr = 2664.47962000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42874763) × cos(-0.99387729) × R
    0.000766990000000023 × 0.545444229211031 × 6371000     		do = 2665.30956610901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42874763) × cos(-0.99429551) × R
    0.000766990000000023 × 0.545093651631938 × 6371000     		du = 2663.59647112114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99387729)-sin(-0.99429551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545444229211031-0.545093651631938)×R²
    abs(-0.42874763--0.42951462)×0.000350577579093292×R²
    0.000766990000000023×0.000350577579093292×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350577579093292×40589641000000     		ar = 7099380.87002598m²