Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35341 / 31229
↖ ↑ ↗
← N  8.423470°
E 14.133911°		 ← 604.20 m → N  8.423470°
E 14.139404°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
N  8.418036°
E 14.133911°		 ← 604.21 m →
365 075 m²		 N  8.418036°
E 14.139404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539268493652344 y=0.476524353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539268493652344 × 216)
    floor (0.539268493652344 × 65536)
    floor (35341.5)     		tx = 35341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476524353027344 × 216)
    floor (0.476524353027344 × 65536)
    floor (31229.5)     		ty = 31229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35341 / 31229 ti = "16/35341/31229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35341/31229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35341 ÷ 216
    35341 ÷ 65536     		x = 0.539260864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31229 ÷ 216
    31229 ÷ 65536     		y = 0.476516723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539260864257812 × 2 - 1) × π
    0.078521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24668329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476516723632812 × 2 - 1) × π
    0.046966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.147549777030533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24668329} λ = 0.24668329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147549777030533))-π/2
    2×atan(1.15899097452305)-π/2
    2×0.858906808330191-π/2
    1.71781361666038-1.57079632675     		φ = 0.14701729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24668329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.133911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14701729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.423470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35341 KachelY 31229 0.24668329 0.14701729 14.133911 8.423470
    Oben rechts KachelX + 1 35342 KachelY 31229 0.24677916 0.14701729 14.139404 8.423470
    Unten links KachelX 35341 KachelY + 1 31230 0.24668329 0.14692245 14.133911 8.418036
    Unten rechts KachelX + 1 35342 KachelY + 1 31230 0.24677916 0.14692245 14.139404 8.418036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14701729-0.14692245) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dl = 604.225639999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14701729-0.14692245) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dr = 604.225639999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24668329-0.24677916) × cos(0.14701729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989212409560414 × 6371000     		do = 604.198841691719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24668329-0.24677916) × cos(0.14692245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989226298057673 × 6371000     		du = 604.207324615988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14701729)-sin(0.14692245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989212409560414-0.989226298057673)×R²
    abs(0.24677916-0.24668329)×1.38884972593623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38884972593623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38884972593623e-05×40589641000000     		ar = 365074.994882223m²