Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35335 / 21994
↖ ↑ ↗
← N 50.812877°
E 14.100952°		 ← 385.97 m → N 50.812877°
E 14.106446°		 →
↑
385.96 m
↓
↑
385.96 m
↓
N 50.809406°
E 14.100952°		 ← 386 m →
148 973 m²		 N 50.809406°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539176940917969 y=0.335609436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539176940917969 × 216)
    floor (0.539176940917969 × 65536)
    floor (35335.5)     		tx = 35335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335609436035156 × 216)
    floor (0.335609436035156 × 65536)
    floor (21994.5)     		ty = 21994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35335 / 21994 ti = "16/35335/21994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35335/21994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35335 ÷ 216
    35335 ÷ 65536     		x = 0.539169311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21994 ÷ 216
    21994 ÷ 65536     		y = 0.335601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539169311523438 × 2 - 1) × π
    0.078338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24610804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335601806640625 × 2 - 1) × π
    0.32879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03294431301297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24610804} λ = 0.24610804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03294431301297))-π/2
    2×atan(2.80932520240158)-π/2
    2×1.22882416650853-π/2
    2.45764833301707-1.57079632675     		φ = 0.88685201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24610804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.100952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88685201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.812877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35335 KachelY 21994 0.24610804 0.88685201 14.100952 50.812877
    Oben rechts KachelX + 1 35336 KachelY 21994 0.24620392 0.88685201 14.106446 50.812877
    Unten links KachelX 35335 KachelY + 1 21995 0.24610804 0.88679143 14.100952 50.809406
    Unten rechts KachelX + 1 35336 KachelY + 1 21995 0.24620392 0.88679143 14.106446 50.809406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88685201-0.88679143) × R
    6.05799999999768e-05 × 6371000     		dl = 385.955179999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88685201-0.88679143) × R
    6.05799999999768e-05 × 6371000     		dr = 385.955179999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24610804-0.24620392) × cos(0.88685201) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63185511793994 × 6371000     		do = 385.969633939157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24610804-0.24620392) × cos(0.88679143) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63190207152172 × 6371000     		du = 385.998315604079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88685201)-sin(0.88679143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63185511793994-0.63190207152172)×R²
    abs(0.24620392-0.24610804)×4.69535817799738e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69535817799738e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69535817799738e-05×40589641000000     		ar = 148972.514505395m²