Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35334 / 21998
↖ ↑ ↗
← N 50.798992°
E 14.095459°		 ← 386.04 m → N 50.798992°
E 14.100952°		 →
↑
386.08 m
↓
↑
386.08 m
↓
N 50.795519°
E 14.095459°		 ← 386.07 m →
149 050 m²		 N 50.795519°
E 14.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539161682128906 y=0.335670471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539161682128906 × 216)
    floor (0.539161682128906 × 65536)
    floor (35334.5)     		tx = 35334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335670471191406 × 216)
    floor (0.335670471191406 × 65536)
    floor (21998.5)     		ty = 21998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35334 / 21998 ti = "16/35334/21998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35334/21998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35334 ÷ 216
    35334 ÷ 65536     		x = 0.539154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21998 ÷ 216
    21998 ÷ 65536     		y = 0.335662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539154052734375 × 2 - 1) × π
    0.07830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24601217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335662841796875 × 2 - 1) × π
    0.32867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03256081781601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24601217} λ = 0.24601217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03256081781601))-π/2
    2×atan(2.80824804623507)-π/2
    2×1.22870299179949-π/2
    2.45740598359899-1.57079632675     		φ = 0.88660966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24601217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.095459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88660966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.798992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35334 KachelY 21998 0.24601217 0.88660966 14.095459 50.798992
    Oben rechts KachelX + 1 35335 KachelY 21998 0.24610804 0.88660966 14.100952 50.798992
    Unten links KachelX 35334 KachelY + 1 21999 0.24601217 0.88654906 14.095459 50.795519
    Unten rechts KachelX + 1 35335 KachelY + 1 21999 0.24610804 0.88654906 14.100952 50.795519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88660966-0.88654906) × R
    6.05999999999662e-05 × 6371000     		dl = 386.082599999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88660966-0.88654906) × R
    6.05999999999662e-05 × 6371000     		dr = 386.082599999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24601217-0.24610804) × cos(0.88660966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632042941600129 × 6371000     		do = 386.044098844175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24601217-0.24610804) × cos(0.88654906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632089901401466 × 6371000     		du = 386.072781316513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88660966)-sin(0.88654906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632042941600129-0.632089901401466)×R²
    abs(0.24610804-0.24601217)×4.69598013370653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69598013370653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69598013370653e-05×40589641000000     		ar = 149050.446343638m²