Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35328 / 31222
↖ ↑ ↗
← N  8.461505°
E 14.062500°		 ← 604.14 m → N  8.461505°
E 14.067993°		 →
↑
604.16 m
↓
↑
604.16 m
↓
N  8.456072°
E 14.062500°		 ← 604.15 m →
365 001 m²		 N  8.456072°
E 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539070129394531 y=0.476417541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539070129394531 × 216)
    floor (0.539070129394531 × 65536)
    floor (35328.5)     		tx = 35328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476417541503906 × 216)
    floor (0.476417541503906 × 65536)
    floor (31222.5)     		ty = 31222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35328 / 31222 ti = "16/35328/31222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35328/31222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35328 ÷ 216
    35328 ÷ 65536     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31222 ÷ 216
    31222 ÷ 65536     		y = 0.476409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476409912109375 × 2 - 1) × π
    0.04718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.148220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148220893625214))-π/2
    2×atan(1.15976905366085)-π/2
    2×0.859238730421663-π/2
    1.71847746084333-1.57079632675     		φ = 0.14768113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14768113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.461505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35328 KachelY 31222 0.24543693 0.14768113 14.062500 8.461505
    Oben rechts KachelX + 1 35329 KachelY 31222 0.24553280 0.14768113 14.067993 8.461505
    Unten links KachelX 35328 KachelY + 1 31223 0.24543693 0.14758630 14.062500 8.456072
    Unten rechts KachelX + 1 35329 KachelY + 1 31223 0.24553280 0.14758630 14.067993 8.456072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14768113-0.14758630) × R
    9.48299999999902e-05 × 6371000     		dl = 604.161929999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14768113-0.14758630) × R
    9.48299999999902e-05 × 6371000     		dr = 604.161929999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(0.14768113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989114946839733 × 6371000     		do = 604.139312653896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(0.14758630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989128896143268 × 6371000     		du = 604.147832717895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14768113)-sin(0.14758630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989114946839733-0.989128896143268)×R²
    abs(0.24553280-0.24543693)×1.39493035350435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39493035350435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39493035350435e-05×40589641000000     		ar = 365000.547144567m²