Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35327 / 31223
↖ ↑ ↗
← N  8.456072°
E 14.057007°		 ← 604.21 m → N  8.456072°
E 14.062500°		 →
↑
604.16 m
↓
↑
604.16 m
↓
N  8.450639°
E 14.057007°		 ← 604.22 m →
365 044 m²		 N  8.450639°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539054870605469 y=0.476432800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539054870605469 × 216)
    floor (0.539054870605469 × 65536)
    floor (35327.5)     		tx = 35327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476432800292969 × 216)
    floor (0.476432800292969 × 65536)
    floor (31223.5)     		ty = 31223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35327 / 31223 ti = "16/35327/31223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35327/31223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35327 ÷ 216
    35327 ÷ 65536     		x = 0.539047241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31223 ÷ 216
    31223 ÷ 65536     		y = 0.476425170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539047241210938 × 2 - 1) × π
    0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476425170898438 × 2 - 1) × π
    0.047149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.148125019825974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24534105} λ = 0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148125019825974))-π/2
    2×atan(1.15965786752544)-π/2
    2×0.859191314983392-π/2
    1.71838262996678-1.57079632675     		φ = 0.14758630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14758630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.456072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35327 KachelY 31223 0.24534105 0.14758630 14.057007 8.456072
    Oben rechts KachelX + 1 35328 KachelY 31223 0.24543693 0.14758630 14.062500 8.456072
    Unten links KachelX 35327 KachelY + 1 31224 0.24534105 0.14749147 14.057007 8.450639
    Unten rechts KachelX + 1 35328 KachelY + 1 31224 0.24543693 0.14749147 14.062500 8.450639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14758630-0.14749147) × R
    9.48299999999902e-05 × 6371000     		dl = 604.161929999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14758630-0.14749147) × R
    9.48299999999902e-05 × 6371000     		dr = 604.161929999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24534105-0.24543693) × cos(0.14758630) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989128896143268 × 6371000     		do = 604.210850119835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24534105-0.24543693) × cos(0.14749147) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989142836551835 × 6371000     		du = 604.21936563904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14758630)-sin(0.14749147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989128896143268-0.989142836551835)×R²
    abs(0.24543693-0.24534105)×1.39404085670591e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.39404085670591e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.39404085670591e-05×40589641000000     		ar = 365043.765985071m²