Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35321 / 31209
↖ ↑ ↗
← N  8.532133°
E 14.024048°		 ← 604.03 m → N  8.532133°
E 14.029541°		 →
↑
604.03 m
↓
↑
604.03 m
↓
N  8.526701°
E 14.024048°		 ← 604.04 m →
364 856 m²		 N  8.526701°
E 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538963317871094 y=0.476219177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538963317871094 × 216)
    floor (0.538963317871094 × 65536)
    floor (35321.5)     		tx = 35321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476219177246094 × 216)
    floor (0.476219177246094 × 65536)
    floor (31209.5)     		ty = 31209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35321 / 31209 ti = "16/35321/31209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35321/31209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35321 ÷ 216
    35321 ÷ 65536     		x = 0.538955688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31209 ÷ 216
    31209 ÷ 65536     		y = 0.476211547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538955688476562 × 2 - 1) × π
    0.077911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24476581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476211547851562 × 2 - 1) × π
    0.047576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.149467253015335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24476581} λ = 0.24476581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.149467253015335))-π/2
    2×atan(1.16121544388503)-π/2
    2×0.859855070097466-π/2
    1.71971014019493-1.57079632675     		φ = 0.14891381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24476581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.024048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14891381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.532133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35321 KachelY 31209 0.24476581 0.14891381 14.024048 8.532133
    Oben rechts KachelX + 1 35322 KachelY 31209 0.24486168 0.14891381 14.029541 8.532133
    Unten links KachelX 35321 KachelY + 1 31210 0.24476581 0.14881900 14.024048 8.526701
    Unten rechts KachelX + 1 35322 KachelY + 1 31210 0.24486168 0.14881900 14.029541 8.526701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14891381-0.14881900) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dl = 604.034510000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14891381-0.14881900) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dr = 604.034510000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24476581-0.24486168) × cos(0.14891381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988932812828926 × 6371000     		do = 604.028067427594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24476581-0.24486168) × cos(0.14881900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988946874779879 × 6371000     		du = 604.036656295258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14891381)-sin(0.14881900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988932812828926-0.988946874779879)×R²
    abs(0.24486168-0.24476581)×1.40619509532147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40619509532147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40619509532147e-05×40589641000000     		ar = 364856.391994452m²