Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35319 / 31211
↖ ↑ ↗
← N  8.521268°
E 14.013061°		 ← 604.11 m → N  8.521268°
E 14.018555°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
N  8.515836°
E 14.013061°		 ← 604.12 m →
364 943 m²		 N  8.515836°
E 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538932800292969 y=0.476249694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538932800292969 × 216)
    floor (0.538932800292969 × 65536)
    floor (35319.5)     		tx = 35319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476249694824219 × 216)
    floor (0.476249694824219 × 65536)
    floor (31211.5)     		ty = 31211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35319 / 31211 ti = "16/35319/31211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35319/31211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35319 ÷ 216
    35319 ÷ 65536     		x = 0.538925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31211 ÷ 216
    31211 ÷ 65536     		y = 0.476242065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538925170898438 × 2 - 1) × π
    0.077850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24457406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476242065429688 × 2 - 1) × π
    0.047515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.149275505416855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24457406} λ = 0.24457406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.149275505416855))-π/2
    2×atan(1.16099280495827)-π/2
    2×0.859760256003472-π/2
    1.71952051200694-1.57079632675     		φ = 0.14872419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24457406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.013061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14872419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.521268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35319 KachelY 31211 0.24457406 0.14872419 14.013061 8.521268
    Oben rechts KachelX + 1 35320 KachelY 31211 0.24466994 0.14872419 14.018555 8.521268
    Unten links KachelX 35319 KachelY + 1 31212 0.24457406 0.14862937 14.013061 8.515836
    Unten rechts KachelX + 1 35320 KachelY + 1 31212 0.24466994 0.14862937 14.018555 8.515836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14872419-0.14862937) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dl = 604.098219999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14872419-0.14862937) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dr = 604.098219999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24457406-0.24466994) × cos(0.14872419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988960927841252 × 6371000     		do = 604.108246433956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24457406-0.24466994) × cos(0.14862937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988974973493746 × 6371000     		du = 604.116826241569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14872419)-sin(0.14862937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988960927841252-0.988974973493746)×R²
    abs(0.24466994-0.24457406)×1.40456524939658e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.40456524939658e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.40456524939658e-05×40589641000000     		ar = 364943.308154698m²