Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35318 / 31218
↖ ↑ ↗
← N  8.483238°
E 14.007568°		 ← 604.11 m → N  8.483238°
E 14.013061°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
N  8.477806°
E 14.007568°		 ← 604.11 m →
364 941 m²		 N  8.477806°
E 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538917541503906 y=0.476356506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538917541503906 × 216)
    floor (0.538917541503906 × 65536)
    floor (35318.5)     		tx = 35318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476356506347656 × 216)
    floor (0.476356506347656 × 65536)
    floor (31218.5)     		ty = 31218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35318 / 31218 ti = "16/35318/31218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35318/31218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35318 ÷ 216
    35318 ÷ 65536     		x = 0.538909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31218 ÷ 216
    31218 ÷ 65536     		y = 0.476348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538909912109375 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476348876953125 × 2 - 1) × π
    0.04730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.148604388822174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24447819} λ = 0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148604388822174))-π/2
    2×atan(1.1602139048162)-π/2
    2×0.859428385481571-π/2
    1.71885677096314-1.57079632675     		φ = 0.14806044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14806044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.483238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35318 KachelY 31218 0.24447819 0.14806044 14.007568 8.483238
    Oben rechts KachelX + 1 35319 KachelY 31218 0.24457406 0.14806044 14.013061 8.483238
    Unten links KachelX 35318 KachelY + 1 31219 0.24447819 0.14796562 14.007568 8.477806
    Unten rechts KachelX + 1 35319 KachelY + 1 31219 0.24457406 0.14796562 14.013061 8.477806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14806044-0.14796562) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dl = 604.098219999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14806044-0.14796562) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dr = 604.098219999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24447819-0.24457406) × cos(0.14806044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989059062153623 × 6371000     		do = 604.10517897109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24447819-0.24457406) × cos(0.14796562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989073045560575 × 6371000     		du = 604.113719865039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14806044)-sin(0.14796562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989059062153623-0.989073045560575)×R²
    abs(0.24457406-0.24447819)×1.39834069511346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39834069511346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39834069511346e-05×40589641000000     		ar = 364941.443351997m²