Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35299 / 21989
↖ ↑ ↗
← N 50.830228°
E 13.903198°		 ← 385.79 m → N 50.830228°
E 13.908691°		 →
↑
385.83 m
↓
↑
385.83 m
↓
N 50.826758°
E 13.903198°		 ← 385.81 m →
148 852 m²		 N 50.826758°
E 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538627624511719 y=0.335533142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538627624511719 × 216)
    floor (0.538627624511719 × 65536)
    floor (35299.5)     		tx = 35299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335533142089844 × 216)
    floor (0.335533142089844 × 65536)
    floor (21989.5)     		ty = 21989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35299 / 21989 ti = "16/35299/21989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35299/21989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35299 ÷ 216
    35299 ÷ 65536     		x = 0.538619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21989 ÷ 216
    21989 ÷ 65536     		y = 0.335525512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538619995117188 × 2 - 1) × π
    0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335525512695312 × 2 - 1) × π
    0.328948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03342368200917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24265659} λ = 0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03342368200917))-π/2
    2×atan(2.81067222863937)-π/2
    2×1.22897558425218-π/2
    2.45795116850435-1.57079632675     		φ = 0.88715484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88715484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.830228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35299 KachelY 21989 0.24265659 0.88715484 13.903198 50.830228
    Oben rechts KachelX + 1 35300 KachelY 21989 0.24275246 0.88715484 13.908691 50.830228
    Unten links KachelX 35299 KachelY + 1 21990 0.24265659 0.88709428 13.903198 50.826758
    Unten rechts KachelX + 1 35300 KachelY + 1 21990 0.24275246 0.88709428 13.908691 50.826758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88715484-0.88709428) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dl = 385.827759999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88715484-0.88709428) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dr = 385.827759999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24265659-0.24275246) × cos(0.88715484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631620369520914 × 6371000     		do = 385.785996986247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24265659-0.24275246) × cos(0.88709428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631667319187842 × 6371000     		du = 385.814673268612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88715484)-sin(0.88709428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631620369520914-0.631667319187842)×R²
    abs(0.24275246-0.24265659)×4.69496669271985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69496669271985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69496669271985e-05×40589641000000     		ar = 148852.479154939m²