Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35292 / 21980
↖ ↑ ↗
← N 50.861444°
E 13.864746°		 ← 385.53 m → N 50.861444°
E 13.870239°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 50.857976°
E 13.864746°		 ← 385.56 m →
148 655 m²		 N 50.857976°
E 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538520812988281 y=0.335395812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538520812988281 × 216)
    floor (0.538520812988281 × 65536)
    floor (35292.5)     		tx = 35292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335395812988281 × 216)
    floor (0.335395812988281 × 65536)
    floor (21980.5)     		ty = 21980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35292 / 21980 ti = "16/35292/21980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35292/21980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35292 ÷ 216
    35292 ÷ 65536     		x = 0.53851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21980 ÷ 216
    21980 ÷ 65536     		y = 0.33538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53851318359375 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33538818359375 × 2 - 1) × π
    0.3292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03428654620233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24198547} λ = 0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03428654620233))-π/2
    2×atan(2.81309850368657)-π/2
    2×1.22924799441255-π/2
    2.4584959888251-1.57079632675     		φ = 0.88769966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88769966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.861444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35292 KachelY 21980 0.24198547 0.88769966 13.864746 50.861444
    Oben rechts KachelX + 1 35293 KachelY 21980 0.24208134 0.88769966 13.870239 50.861444
    Unten links KachelX 35292 KachelY + 1 21981 0.24198547 0.88763914 13.864746 50.857976
    Unten rechts KachelX + 1 35293 KachelY + 1 21981 0.24208134 0.88763914 13.870239 50.857976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88769966-0.88763914) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88769966-0.88763914) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24198547-0.24208134) × cos(0.88769966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		do = 385.527951011076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24198547-0.24208134) × cos(0.88763914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631244828411879 × 6371000     		du = 385.556621069716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88769966)-sin(0.88763914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63119788893462-0.631244828411879)×R²
    abs(0.24208134-0.24198547)×4.69394772595333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69394772595333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69394772595333e-05×40589641000000     		ar = 148654.665057505m²