Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35291 / 21981
↖ ↑ ↗
← N 50.857976°
E 13.859253°		 ← 385.56 m → N 50.857976°
E 13.864746°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 50.854509°
E 13.859253°		 ← 385.59 m →
148 666 m²		 N 50.854509°
E 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538505554199219 y=0.335411071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538505554199219 × 216)
    floor (0.538505554199219 × 65536)
    floor (35291.5)     		tx = 35291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335411071777344 × 216)
    floor (0.335411071777344 × 65536)
    floor (21981.5)     		ty = 21981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35291 / 21981 ti = "16/35291/21981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35291/21981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35291 ÷ 216
    35291 ÷ 65536     		x = 0.538497924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21981 ÷ 216
    21981 ÷ 65536     		y = 0.335403442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538497924804688 × 2 - 1) × π
    0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335403442382812 × 2 - 1) × π
    0.329193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03419067240309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24188960} λ = 0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03419067240309))-π/2
    2×atan(2.81282881417367)-π/2
    2×1.22921773561777-π/2
    2.45843547123553-1.57079632675     		φ = 0.88763914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88763914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.857976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35291 KachelY 21981 0.24188960 0.88763914 13.859253 50.857976
    Oben rechts KachelX + 1 35292 KachelY 21981 0.24198547 0.88763914 13.864746 50.857976
    Unten links KachelX 35291 KachelY + 1 21982 0.24188960 0.88757862 13.859253 50.854509
    Unten rechts KachelX + 1 35292 KachelY + 1 21982 0.24198547 0.88757862 13.864746 50.854509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88763914-0.88757862) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88763914-0.88757862) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24188960-0.24198547) × cos(0.88763914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631244828411879 × 6371000     		do = 385.556621069716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24188960-0.24198547) × cos(0.88757862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631291765577097 × 6371000     		du = 385.585289716189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88763914)-sin(0.88757862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631244828411879-0.631291765577097)×R²
    abs(0.24198547-0.24188960)×4.6937165217753e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6937165217753e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6937165217753e-05×40589641000000     		ar = 148665.719183576m²