Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35291 / 21979
↖ ↑ ↗
← N 50.864912°
E 13.859253°		 ← 385.50 m → N 50.864912°
E 13.864746°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 50.861444°
E 13.859253°		 ← 385.53 m →
148 644 m²		 N 50.861444°
E 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538505554199219 y=0.335380554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538505554199219 × 216)
    floor (0.538505554199219 × 65536)
    floor (35291.5)     		tx = 35291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335380554199219 × 216)
    floor (0.335380554199219 × 65536)
    floor (21979.5)     		ty = 21979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35291 / 21979 ti = "16/35291/21979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35291/21979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35291 ÷ 216
    35291 ÷ 65536     		x = 0.538497924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21979 ÷ 216
    21979 ÷ 65536     		y = 0.335372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538497924804688 × 2 - 1) × π
    0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335372924804688 × 2 - 1) × π
    0.329254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03438242000157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24188960} λ = 0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03438242000157))-π/2
    2×atan(2.81336821905687)-π/2
    2×1.22927825095732-π/2
    2.45855650191464-1.57079632675     		φ = 0.88776018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88776018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.864912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35291 KachelY 21979 0.24188960 0.88776018 13.859253 50.864912
    Oben rechts KachelX + 1 35292 KachelY 21979 0.24198547 0.88776018 13.864746 50.864912
    Unten links KachelX 35291 KachelY + 1 21980 0.24188960 0.88769966 13.859253 50.861444
    Unten rechts KachelX + 1 35292 KachelY + 1 21980 0.24198547 0.88769966 13.864746 50.861444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88776018-0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88776018-0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24188960-0.24198547) × cos(0.88776018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		do = 385.499279540373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24188960-0.24198547) × cos(0.88769966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		du = 385.527951011076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88776018)-sin(0.88769966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63115094714549-0.63119788893462)×R²
    abs(0.24198547-0.24188960)×4.694178912934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.694178912934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.694178912934e-05×40589641000000     		ar = 148643.610387082m²