Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3529 / 5687
↖ ↑ ↗
← S 57.112385°
W 24.916992°		 ← 2 653.33 m → S 57.112385°
W 24.873047°		 →
↑
2 652.50 m
↓
↑
2 652.50 m
↓
S 57.136239°
W 24.916992°		 ← 2 651.62 m →
7 035 701 m²		 S 57.136239°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43084716796875 y=0.69427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43084716796875 × 213)
    floor (0.43084716796875 × 8192)
    floor (3529.5)     		tx = 3529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69427490234375 × 213)
    floor (0.69427490234375 × 8192)
    floor (5687.5)     		ty = 5687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3529 / 5687 ti = "13/3529/5687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3529/5687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3529 ÷ 213
    3529 ÷ 8192     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5687 ÷ 213
    5687 ÷ 8192     		y = 0.6942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.22028171672815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22028171672815))-π/2
    2×atan(0.295147007361607)-π/2
    2×0.286998582379369-π/2
    0.573997164758739-1.57079632675     		φ = -0.99679916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99679916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.112385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3529 KachelY 5687 -0.43488355 -0.99679916 -24.916992 -57.112385
    Oben rechts KachelX + 1 3530 KachelY 5687 -0.43411656 -0.99679916 -24.873047 -57.112385
    Unten links KachelX 3529 KachelY + 1 5688 -0.43488355 -0.99721550 -24.916992 -57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 3530 KachelY + 1 5688 -0.43411656 -0.99721550 -24.873047 -57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99679916--0.99721550) × R
    0.000416340000000015 × 6371000     		dl = 2652.5021400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99679916--0.99721550) × R
    0.000416340000000015 × 6371000     		dr = 2652.5021400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43411656) × cos(-0.99679916) × R
    0.000766990000000023 × 0.542992947458015 × 6371000     		do = 2653.33139427099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43411656) × cos(-0.99721550) × R
    0.000766990000000023 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 2651.62276709743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99679916)-sin(-0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542992947458015-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.43411656--0.43488355)×0.000349663259962441×R²
    0.000766990000000023×0.000349663259962441×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349663259962441×40589641000000     		ar = 7035701.23444695m²