Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3528 / 5688
↖ ↑ ↗
← S 57.136239°
W 24.960937°		 ← 2 651.62 m → S 57.136239°
W 24.916992°		 →
↑
2 650.78 m
↓
↑
2 650.78 m
↓
S 57.160078°
W 24.960937°		 ← 2 649.91 m →
7 026 610 m²		 S 57.160078°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43072509765625 y=0.69439697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43072509765625 × 213)
    floor (0.43072509765625 × 8192)
    floor (3528.5)     		tx = 3528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69439697265625 × 213)
    floor (0.69439697265625 × 8192)
    floor (5688.5)     		ty = 5688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3528 / 5688 ti = "13/3528/5688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3528/5688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3528 ÷ 213
    3528 ÷ 8192     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5688 ÷ 213
    5688 ÷ 8192     		y = 0.6943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6943359375 × 2 - 1) × π
    -0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22104870712207))-π/2
    2×atan(0.29492071923367)-π/2
    2×0.286790414243373-π/2
    0.573580828486746-1.57079632675     		φ = -0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3528 KachelY 5688 -0.43565054 -0.99721550 -24.960937 -57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 3529 KachelY 5688 -0.43488355 -0.99721550 -24.916992 -57.136239
    Unten links KachelX 3528 KachelY + 1 5689 -0.43565054 -0.99763157 -24.960937 -57.160078
    Unten rechts KachelX + 1 3529 KachelY + 1 5689 -0.43488355 -0.99763157 -24.916992 -57.160078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99721550--0.99763157) × R
    0.000416069999999991 × 6371000     		dl = 2650.78196999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99721550--0.99763157) × R
    0.000416069999999991 × 6371000     		dr = 2650.78196999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43488355) × cos(-0.99721550) × R
    0.000766989999999967 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 2651.62276709723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43488355) × cos(-0.99763157) × R
    0.000766989999999967 × 0.542293753727888 × 6371000     		du = 2649.91478880012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99721550)-sin(-0.99763157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.542293753727888)×R²
    abs(-0.43488355--0.43565054)×0.000349530470164505×R²
    0.000766989999999967×0.000349530470164505×6371000²
    0.000766989999999967×0.000349530470164505×40589641000000     		ar = 7026610.1845896m²