Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35252 / 21931
↖ ↑ ↗
← N 51.031031°
E 13.645020°		 ← 384.12 m → N 51.031031°
E 13.650513°		 →
↑
384.11 m
↓
↑
384.11 m
↓
N 51.027577°
E 13.645020°		 ← 384.15 m →
147 550 m²		 N 51.027577°
E 13.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537910461425781 y=0.334648132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537910461425781 × 216)
    floor (0.537910461425781 × 65536)
    floor (35252.5)     		tx = 35252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334648132324219 × 216)
    floor (0.334648132324219 × 65536)
    floor (21931.5)     		ty = 21931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35252 / 21931 ti = "16/35252/21931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35252/21931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35252 ÷ 216
    35252 ÷ 65536     		x = 0.53790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21931 ÷ 216
    21931 ÷ 65536     		y = 0.334640502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53790283203125 × 2 - 1) × π
    0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334640502929688 × 2 - 1) × π
    0.330718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0389843623651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23815052} λ = 0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0389843623651))-π/2
    2×atan(2.82634501377729)-π/2
    2×1.23072792020285-π/2
    2.4614558404057-1.57079632675     		φ = 0.89065951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89065951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.031031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35252 KachelY 21931 0.23815052 0.89065951 13.645020 51.031031
    Oben rechts KachelX + 1 35253 KachelY 21931 0.23824639 0.89065951 13.650513 51.031031
    Unten links KachelX 35252 KachelY + 1 21932 0.23815052 0.89059922 13.645020 51.027577
    Unten rechts KachelX + 1 35253 KachelY + 1 21932 0.23824639 0.89059922 13.650513 51.027577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89065951-0.89059922) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dl = 384.107589999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89065951-0.89059922) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dr = 384.107589999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23815052-0.23824639) × cos(0.89065951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628899403140179 × 6371000     		do = 384.124063998312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23815052-0.23824639) × cos(0.89059922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628946276669221 × 6371000     		du = 384.152693776588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89065951)-sin(0.89059922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628899403140179-0.628946276669221)×R²
    abs(0.23824639-0.23815052)×4.68735290427569e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68735290427569e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68735290427569e-05×40589641000000     		ar = 147550.466985521m²